Rachunek prawdopodobieństwa

Data ostatniej modyfikacji:
2008-07-22

Paradoks Bertranda

Prawdopodobieństwo, że wybierając losowo cięciwę okręgu trafimy na taką, której długość jest większa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg wynosi:

a) 1/2
Jeśli ustalimy kierunek prowadzenia cięciw prostopadły do wybranej średnicy, to wybór dowolnej cięciwy jest równoznaczny z wyborem punktu z przedziału [0, 1], a cięciwy dłuższej niż bok trójkąta równobocznego - z wyborem punktu przedziału [1/4, 3/4].

b) 1/3
Jeśli ustalimy jeden z końców cięciwy na okręgu i poprowadzimy w tym punkcie styczną, to wybór dowolnej cięciwy jest równoznaczny z wyborem kąta z przedziału (0, 180) stopni, jaki tworzy ona ze styczną, a cięciwy dłuższej niż bok trójkąta równobocznego - z wyborem kąta z przedziału (60, 120) stopni.

c) 1/4
Każda cięciwa okręgu (poza średnicą) jest jednoznacznie wyznaczona przez swój środek. Wybór dowolnej cięciwy jest więc równoznaczny z wyborem punktu z wnętrza koła, a cięciwy dłuższej niż bok trójkąta równobocznego - z wyborem punktu z koła współśrodkowego o 2 razy mniejszym promieniu.

 

1/3

Ten kąt musi być większy niż 60 i mniejszy niż 120 stopni, bo inaczej cieciwy będą równe, a nie większe od boków. Prosty błąd. XD

Tak właśnie jest

W treści dokładnie tak napisano (przedział jest otwarty). Ale przecież paradoks polega zupełnie na czymś innym. Chodzi o to, że zjawisko, które obiektywnie zachodzi z jakimś prawdopodobieństwem, w opisie matematycznym może mieć różne prawdopodobieństwa, w zależności od przyjętego sposobu opisu tego zjawiska. To zadziwiające. Ale pokazuje ograniczenia tzw. matematyki stosowanej. Matematyczne metody nie stosują się do życia, ale do matematycznych modeli.

Problem z nieprzeliczalnością

Wydaje mi się. że problem tkwi w tym, że operujemy prawdopodobieństwem na zbiorach nieskończonych i do tego nieprzeliczalnych. Wzory na prawdopodobieństwa mają zwykle postać stosunku liczby zdarzeń sprzyjających do liczby wszystkich możliwych zdarzeń. W podanych przykładach zdarzeń sprzyjających, niesprzyjających oraz wszystkich mamy nieskończenie wiele. A nawet można powiedzieć, że te zbiory są nieprzeliczalne (mocy continuum).

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo jest stosunkiem miar zbioru zdarzeń sprzyjających i wszystkich zdarzeń - zgoda. Ale miarą nie zawsze musi być moc zbioru. Może nią być pole figury, długość odcinka itp. Wtedy nieprzeliczalność zbiorów nie ma nic do rzeczy. Tak określane prawdopodobieństwo nazywa się geometrycznym.

Powrót na górę strony