Rolling Stones (3) - Rysują cykloidę

Data ostatniej modyfikacji:
2009-04-20
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Toczymy po prostej n-kąt foremny. Zbadajmy, jaką trajektorię kreśli ustalony wierzchołek.


Trajektorie są przybliżane przez niebieskie łamane; przyjrzyjmy się im dokładniej:


       

Popatrzmy.

Pole pod tą łamaną dla n = 3, 4, 6 jest trzykrotnie większe niż pole toczącego się wielokąta.
Czy tak jest zawsze?

HIPOTEZA. Dla każdego n-kąta foremnego


Poszukamy ogólnego rozumowania (rysunki są dla n=8). Przyjmijmy oznaczenia jak poniżej:

Zauważmy, że zaznaczone odcinki i kąty są równe
i to się składa do

(Dlaczego wychodzi n-kąt foremny?).
Ponadto:

ponieważ , więc czworokąt
jest trapezem i pole białego trójkąta jest sumą pól jego szarych 'sąsiadów'.

Aby zsumować pola białych klinów, wystarczy więc obliczyć podwojoną sumę szarych trójkątów (również tych skrajnych, patrz rys.).


Zatem

i mamy

TWIERDZENIE. Dla każdego n-kąta foremnego


UWAGA (tylko dla dorosłych)

WNIOSEK.
Gdy będziemy toczyć koło o promieniu r
,
to



Teraz znajdziemy długość L łamanej , tzn. długość przybliżenia trajektorii wierzchołka toczącego się n-kąta foremnego po wykonaniu jednego obrotu.

W trapezach widzimy, że jedno z ramion jest prostopadłe do podstaw.
Wycinamy połówki białych trójkątów równoramiennych i resztę składamy, obracając (n-1) razy o kąt .


To wygląda na część 2n-kąta foremnego. (Lepiej to widać po zaznaczeniu wierzchołków.)

Sprawdź, że:
- jest to część 2n-kąta foremnego (porównaj kąty i boki),
- boki tego 2n-kąta foremnego mają długość a,
- odcinki wyglądające na poziome, są równoległe (porównaj odpowiednie kąty),
- odcinki wyglądające na pionowe, są równoległe (bo są prostopadłe do tych poprzednich).

Łączna długość pionowych odcinków jest połową szukanej wielkości L (dlaczego?) i jest równa średnicy okręgu wpisanego w ów 2n-kąt foremny (dlaczego?).

Rysunek obok pokazuje, że promień okręgu wpisanego w ów 2n-kąt foremny jest równy sumie promieni okręgów wpisanych i opisanych na oryginalnym n-kącie foremnym. Zatem mamy

TWIERDZENIE         L = 4 (R + r) .


UWAGA (tylko dla dorosłych)

Zamiast n-kąta weźmy okrąg o promieniu r toczący się po prostej. Ustalony punkt okręgu wykreśla linię zwaną cykloidą.

TWIERDZENIE
Dla cykloidy:

mamy

oraz



UWAGA

W podobny sposób można uzasadnić
TWIERDZENIE KOPERNIKA
Gdy wewnątrz okręgu toczy się (bez poślizgu) okrąg styczny o połowę mniejszym promieniu, to jego punkty poruszają się po średnicach dużego okręgu.

Powrót na górę strony