Zad. 1. Agatka zapomniała czterocyfrowy kod do otwarcia walizki, ale pamięta, że był on liczbą pierwszą o iloczynie cyfr 243. Ile kodów musi wypróbować?
Zad. 2. Pierwszy kran napełnia basen w ciągu 2 godzin, a drugi w ciągu 4 godzin. Napełniony basen opróżnia się przez otwór spustowy w ciągu 3 godzin. Napełnianie pustego basenu rozpoczęto, odkręcając jednocześnie oba krany, jednak wcześniej pracownik obsługi zapomniał zakręcić zawór spustowy. Jak długo będzie napełniał się basen?
Zad. 3. Wykaż, że liczba 13 + 23 + 33 + … + 20173 + 20183 dzieli się przez 2019.
W czerwcu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Hubert Bączyk G1 Swarzędz, Joanna Galik SP 5 Wrocław, Agata i Tomasz Lefler ZSS Wołów, Oliwer Rum G 1 Głogówek, Marta Sibielec G 48 Wrocław, Laura Stefanowska G św. Franciszka Legnica, Wojciech Szwarczyński SP Kowalowa, Piotr Zug SP 1 Borki Wielkie;
- 2,5 pkt. Maciej Michoń MZS Strzyżów;
- 2 pkt. – Kacper Woszczek SP Mieroszów, Patrycja Zakrzewska G Tuchola;
- 1 pkt. – Maksymilian Szczepaniak SP Siechnice.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Liczba 243 = 35, zapisuje się jednoznacznie jako iloczyn 4 liczb jednocyfrowych w postaci 1·3·9·9.
Istnieje 12 możliwości ustawienia tych cyfr:
1399, 1939, 1993, 3199, 3919, 3991, 9139, 9193, 9319, 9391, 9913, 9931.
Jednak 1939 i 3199 są podzielne przez 7, 3991 i 9139 - przez 13, 9193 - przez 29, a 9913 - przez 23.
Pozostałe to liczby pierwsze.
Zatem Agatka musi sprawdzić 6 możliwości: 1399, 1993, 3919, 9319, 9391, 9931.
Zad. 2. Pierwszy kran napełnia w ciągu godziny 1/2 basenu, a drugi 1/4. Natomiast przez otwór spustowy w ciągu godziny wypływa ilość wody stanowiąca 1/3 objętości basenu. Załóżmy, że po otwarciu obu kranów i nie zamknięciu otworu spustowego basen napełnia się w ciągu x godzin, czyli w ciągu godziny napełnia się 1/x część objętości basenu. Zachodzi zatem 1/x = 1/2 + 1/4 – 1/3 = 5/12. Stąd x = 22/5, czyli basen napełni się w ciągu 2 godzin i 24 minut.
Zad. 3. Zachodzi a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2), co oznacza, że suma sześcianów dwóch liczb dzieli się przez sumę tych liczb. Ponieważ w zadaniu liczba składników jest parzysta, można je połączyć w pary
(13+20183) + (23+20173) + (33+20163) + ... + (10093+10103).
Wyrażenie w każdym nawiasie dzieli się przez 2019, zatem ich suma również.
