Zad. 1. Ślimak Ś pełznie 2009 jednostek przed siebie, następnie skręca pod kątem prostym w prawo i pełznie naprzód o 2008 jednostek, znów skręca o 90° w prawo i pełznie 2007 jednostek itd., aż pokona prosty odcinek o długości 1. W jakiej odległości od punktu startu znajdzie się wówczas Ś?
Zad. 2. Ile jest tysiąccyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr 8998?
Zad. 3. Znajdujemy tzw. "ostateczną sumę cyfr" danej liczby naturalnej - sumujemy jej cyfry i jeśli otrzymany wynik nie jest jednocyfrowy, operację powtarzamy do skutku. Np. ostateczna suma cyfr liczby 78987 to 3, bo 7+8+9+8+7=39, 3+9=12 i 1+2=3, i do jej obliczenia potrzeba trzykrotnego sumowania cyfr. Podaj najmniejszą liczbę, która wymaga sumowania pięciokrotnego.
Zadania listopadowe bezbłędnie (3 pkt.) rozwiązali:
Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Antoni Machowski z G 52 w Krakowie, Arkadiusz Wróbel z G w Brwinowie, Agata Maciocha z III LO w Opolu, Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie.
Po dwóch miesiącach w Lidze Szkół Ponadgimnazjalnych czołówkę stanowią:
- (6 pkt.): Michalina Sieradzka z G 49 we Wrocławiu, Arkadiusz Wróbel z G w Brwinowie, Justyna Wozowczyk i Maciej Niemczyk z I LO w Lubinie,
- (5 pkt.): Agata Maciocha z III LO w Opolu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że w jednym kierunku Ś pokonuje 2009-2007+2005-2003+...+1 = 2·502+1 = 1005 jednostek, a w kierunku prostopadłym 2008-2006+2004-2002+...-2 = 2·502=1004 jednostki. Znajdzie się więc o √(10052+10042) = √2018041 od początkowego położenia.
Zad. 2. W liczbie takiej może być 999 dziewiątek i jedna siódemka lub 998 dziewiątek i dwie ósemki. Pierwszych liczb jest tyle, na ile sposobów spośród 1000 cyfr da się wybrać jedną, którą ma być siódemka, (czyli 1000), a drugich tyle, na ile sposobów da się wybrać dwie pozycje z 1000 na ósemki (czyli 1000·999/2 - bo wybieramy jedną, a następnie drugą, przy czym kolejność wyborów nie ma znaczenia). Odpowiedź to zatem 1000+500·999 = 500·1001= 500500.
Zad. 3. Najmniejszą liczbą wymagającą dwóch sumowań jest 19, zatem trzech sumowań nie
wymaga żadna liczba o sumie cyfr mniejszej niż 19, a trzy są konieczne dla
liczby 199. Analogicznie dochodzimy do najmniejszej liczby wymagającej 4 sumowań - ma ona w zapisie dziesiętnym jedynkę i 22 dziewiątki, a odpowiedzią jest najmniejsza liczba, która ma taką sumę cyfr, czyli liczba o 19999999999999999999998:9=2.222.222.222.222.222.222.222 dziewiątkach, która przed nimi ma jedną jedynkę.
