Kule osadzone w ośmiościanie foremnym są wyzwaniem dla miłośników geometrii. Zobacz, jak wyglądają, i rozwiąż kilka zadań.
Wszystko będzie się działo w ośmiościanie foremnym ABCDEF
o krawędziach długości a = 1.
Warto zauważyć, że można przyjąć:
A(a/, 0, 0),
B(0, a/, 0),
C(-a/, 0, 0),
D(0, -a/, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/),
albo
A(a/2, a/2, 0),
B(-a/2, a/2, 0),
C(-a/2, -a/2, 0),
D(a/2, -a/2, 0),
E(0, 0, a/),
F(0, 0, -a/).
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul.
b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). a)
Wyznacz długość promieni tych kul. b)
Wyznacz promień największej kuli o środku w środku ośmiościanu, która mieści się pomiędzy tymi kulami (tzn. jest styczna zewnętrznie do wszystkich kul).
Rysunek 3D
Można chwycić myszką i obracać
przezroczystość:
Do dalszej lektury zapraszamy tych Czytelników, którzy rozwiązali chociaż jeden podpunkt któregoś z powyższych zadań
Zgrabne rozwiązanie powyższych zadań oparte jest
na dwóch obserwacjach.
Można pomyśleć, że kule z zadań (1), (2), (3) 'wyrosły' tak, że
ich 'nasionka' włożono:
(1) w wierzchołki ośmiościanu,
(2) w środki ścian ośmiościanu,
(3) w środki krawędzi ośmiościanu.
Potem je 'podlewano', więc rosły i rosły, wpychane w głąb ośmiościanu przez jego ściany.
Rosły tak do momentu, gdy miały miejsce, czyli do chwili, gdy spotkały się z innymi kulami.
'Filmy dokumentujące 'hodowlę' kul z zadań (1), (2), (3).
A teraz najważniejsze.
Wyobraźmy sobie, co by było, gdyby kule rosły dalej,
gdyby nie zatrzymało ich wzrostu spotkanie z innymi kulami,
gdyby się przenikały nawzajem, gdyby jedyną barierą dla nich były ściany ośmiościanu.
Poniższe 'filmy' pokazują taki właśnie wzrost pojedynczej kuli.
0.05
0.05
0.05
A tak wyglądałby wzrost wszystkich kul.
0.05
0.05
0.05
W każdym przypadku kule rosną tak długo, aż pokryją się z kulą K wpisaną w ośmiościan ABCDEF.
Puszczając te 'filmy' w drugą stronę, zauważamy kluczową sprawę.
Kule z zadań (1), (2), (3) są kopiami (obrazami) kuli K,
utworzonymi przez jednokładności o środkach w:
(1) wierzchołkach ośmiościanu,
(2) w środkach ścian ośmiościanu,
(3) w środkach krawędzi ośmiościanu.
(Przy czym w poszczególnych zadaniach: (1), (2), (3),
jednokładności mają tą samą skalę.)
Dalej potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja.
Styczność kul opisanych w zadaniach (1), (2), (3) ilustruje poniższy rysunek, w którym zbadamy tylko jedną (dowolną) parę takich kul:
- punkty S', S'' są środkami dwóch stycznych kul o (nieznanym) promieniu x,
- punkt O jest środkiem kuli K wpisanej w ośmiościan (r oznacza promień K),
- punkty P', P'' są środkami jednokładności dla tych kul (tam 'zasadzono' te kule), czyli
w zadaniu (1) są to pewne dwa sąsiednie wierzchołki ośmiościanu,
w zadaniu (2) są to środki dwóch sąsiadujących ścian ośmiościanu,
w zadaniu (3) są to środki dwóch boków pewnej ściany ośmiościanu.
skala0.55
Z własności jednokładności mamy:
x / r = P'S' / P'O .
Styczność kul daje nam:
x / P'M = S'O / P'O .
Prawe strony sumują się do 1, czyli
x / r + x / P'M = 1 ,
skąd
x = 1 /
( 1/r + 1/P'M ) .
Ostatecznie:
x = 1 / ( 1/r + 2/P'P'' ) ,
Ten wzór jest już właściwie rozwiązaniem podpunktów a) powyższych zadań.Wystarczy bowiem obliczyć r i w poszczególnych zadaniach znaleźć P'P'' (co zostawiamy Czytelnikowi).
Podpunkty b) też można rozwiązać jednym wzorem, patrząc na powyższy rysunek (co również zostawiamy Czytelnikowi).
W marcu rozpoczną się finały olimpiad przedmiotowych. W finale XXI Olim-piady Matematycznej Juniorów na 178 zawodników jest 18 Wrocławian (3 z SP 76, po 2 z SP1 i SP 28 oraz po 1 z SP 3, 4, 8, 17, 26, 40, 18, 63, 107, Atut, Montessori; ośmioro z nich uczęszczało na kółka w IM UWr). W finale XXXIII Olimpiady Informaty-cznej na 129 zawodników jest także 18 Wrocławian (9 z LO 14, 7 z LO 3 oraz po 1 z LO ASSA i SP 8). W finale LXVII Olimpiady Matematy-cznej na 166 zawodników jest 16 Wrocławian (7 z LO 3, 4 z ALO PWr, 2 z LO 14, 1 z LO FKJ i 1 z XIV LO Warszawa - absolwent SP 3 Ww; siedmioro z nich uczęszczało na kółka w IM UWr).
Z okazji Dnia Kobiet (i nie tylko) zapraszamy odwiedzenia pomnika Marii Kunickiej na Rynku w Świdnicy oraz do lektury artykułu o osiągnię-ciach innych kobiet w matematyce.
Słynny trójkąt. Alfred Nobel (1833-1896) był zakochany w rosyjskiej matematyczce Sophie Kowalewskiej (1850-1891), która na obiekt westchnień wybrała jednak szwedzkiego matematyka Magnusa Gustawa Mittag-Lefflera (1846-1927). W efekcie Nobel do końca życia został kawalerem i wykluczył matematyków w swym testamencie, z obawy, że jednym z ówczesnych pretendentów do nagrody mógłby zostać jego znienawidzony rywal.
Wszystkich master chefów oraz pospolitych zjadaczy makaronów zachęcamy do komponowania z nich (i nie tylko) intrygujących rozet o gwiaździstej symetrii.
, 0, 0),
B(0, a/
Zadanie (1).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 6 jednakowych kul, po jednej w każdym narożu ośmiościanu. Każda jest styczna do ścian schodzących się w tym narożu i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku). 
Zadanie (2).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 8 jednakowych kul, po jednej przy każdej ścianie. Każda kula jest styczna do innej ściany i styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
Zadanie (3).
W ośmiościanie foremnym o krawędzi a = 1
rozmieszczonych jest 12 jednakowych kul, po jednej przy każdej krawędzi.Każda kula jest styczna do ścian schodzących się w tej krawędzi i jest styczna zewnętrznie do sąsiednich kul (jak pokazano na rysunku).
