O dziale (platonicznie)

W Maratonie zadaniowym - ustawicznym konkursie toczącym się na naszym Portalu - pojawiło się takie zadanie:

Zadanie okazało się dość trudne, dlatego omówimy tu jego rozwiązanie.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
 -   t_max , t_min , t_sr  =  największa, najmniejsza i środkowa z liczb t_A , t_B , t_C ,
 -   P_max , P_min , P_sr  =  najdalszy, najbliższy, pośredni posterunek względem pozycji działa D.

Wiadomo, że dźwięk przebywa 1/3 km w ciągu sekundy.
Gdy cofniemy czas do chwili t, to z punktu widzenia (słyszenia) A, miejsca, w których mogłoby znajdować się działo, tworzą okrąg. Nazwijmy go p-okręgiem (potencjalnym okręgiem). Jego promień jest 1/3 różnicy t_A - t (dlaczego?). Ilustruje to poniższy rysunek.
(Uwaga. Czas jest mierzony w sekundach od umownej chwili 0. Wystrzał mógł paść w chwili ujemnej.)

Cofając się dostatecznie daleko w przeszłość, zobaczymy, że działo jest w punkcie wspólnym trzech p-okręgów. Ale jak wyznaczyć to miejsce?
A dokładniej, jak to zrobić według reguł Platona (platonicznie?), tzn. posługując się tylko cyrklem i linijką bez podziałki?

Taką konstrukcję łatwo opisać, gdy znamy pojęcie inwersji względem okręgu.

Przypomnijmy najpierw określenie i podstawowe własności tego przekształcenia.

Punkt P'  jest obrazem punktu P w inwersji względem okręgu o środku O i promieniu R, gdy

P' leży na półprostej OP oraz

W inwersji obrazami okręgów są okręgi (za wyjątkiem tych, które przechodzą przez środek inwersji O). Można to zobaczyć na poniższym rysunku, można też udowodnić wyznaczając kąt K'M'L'. (Które trójkąty są podobne?)

Uwaga. Obrazem okręgu okr jest okrąg okr', lecz środek S okręgu okr (zazwyczaj) nie jest przekształcany na środek N okręgu okr'.

Powróćmy do działa.
Pomyślmy o takiej chwili t₀ z przeszłości, że p-okręgi posterunków P_max, P_min są styczne zewnętrznie. Wtedy szukany punkt D jest środkiem okręgu stycznego zewnętrznie do wszystkich trzech p-okręgów. (Dlaczego?)
Poniżej pokazana jest konstrukcja punktu D, czyli miejsca, gdzie mogło znajdować się działo.

Zauważmy, że punkt 9. konstrukcji może być niejednoznaczny. Może istnieć wiele okręgów (brązowych) stycznych jednocześnie do dwóch prostych i okręgu (niebieskiego). Zobaczysz to na poniższym rysunku. (Zmieniając wartości czasów i położenia posterunków, można uzyskać nawet cztery takie (brązowe) okręgi.

Powyższa konstrukcja jest niemal rozwiązaniem problemu starożytnego greckiego geometry Apoloniusza z Pergi (żyjącego w latach 260 p.n.e.-190 p.n.e.):

Ogólnie może być nawet osiem okręgów stycznych do trzech danych.
Jednak w naszej działowej wersji otrzymamy ich najwyżej cztery. Dlaczego?
Bo u nas zawsze czerwone okręgi są albo jednocześnie zewnętrznie styczne, albo jednocześnie wewnętrznie styczne do p-kręgów o środkach P_max , P_min. (Brązowe okręgi są styczne do prostych równoległych, będących obrazami w inwersji p-okręgów o środkach P_max , P_min.)

W naszym działowym problemie szukamy tylko okręgu stycznego zewnętrznie do trzech p-okręgów. Dlaczego? Interesujące jest, że mogą istnieć dwa takie okręgi i to nie tylko w sytuacji, gdy posterunki A, B, C leżą w jednej linii. A czasem zadanie nie ma żadnego rozwiązania (sztabowiec powinien wtedy poszukać... szpiega na którymś z posterunków, który przekazał fałszywe dane o czasie.)
Jak rozpoznać, ile jest rozwiązań naszego problemu, dla zadanych punktów i czasów?

Wydaje się, że główna trudność w badaniu liczby rozwiązań, polega na braku odpowiedniego języka, w którym można sformułować odpowiedź. Proponuję kompromis.
Przyjrzyjmy się sytuacji w momencie gdy odgłos wystrzału dotarł do pierwszego (najbliższego) posterunku, czyli gdy t = t_min.

Przesuwając punkt P_sr (niebieski) i zmieniając pozostałe parametry, można stwierdzić, ile jest rozwiązań naszego problemu.

Szczegóły pomijamy, bo sztabowca to już zapewne nie interesuje.Może go natomiast zainteresować inny sposób rozwiązania tego samego zadania, który opisujemy w artykule O dziale (hiperbolicznie).