się powtarza? Kiedy się powtarza? Kiedy ...

W tekście Co się powtarza? pokazaliśmy (na przykładach), jak rozpoznać, od którego miejsca po przecinku zaczyna się okres rozwinięcia dziesiętnego danego ułamka. Np. dla ułamka $\frac{5}{68}=\frac{5}{2^2\cdot 17}$, wiadomo, że okres zaczyna się od trzeciego miejsca po przecinku. Ale ile jest cyfr w okresie?
Z poprzednich rozważań wiadomo, że nie więcej niż 16.
Ale ile dokładnie? Jak długo trzeba liczyć?
Tym zajmiemy się poniżej, przy czym od razu zapowiadamy:
Nie ma 'eleganckiej' odpowiedzi na to pytanie.

Rozważmy ułamki o mianowniku będącym liczbą pierwszą, np. ułamki o mianowniku 73.

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{1}{73}$ dostajemy następujące reszty:

1, 10, 27, 51, 72, 63, 46, 22. Dalsze to: 1, 10, 27,... powtarzają się okresowo.

Jasne jest (bez rachunków) jakie reszty dostaniemy przy rozwijaniu ułamka $\frac{51}{73}$; te same, w tym samym porządku, tylko zaczynając od 51: 51, 72, 63, 46, 22, 1, 10, 27.
Podobnie jest dla ułamka $\frac{63}{73}$, jak i dla pozostałych sześciu.

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{17}{73}$ nie wystąpi żadna z powyższych reszt. Jest tak dlatego, że reszty determinują wcześniejsze (tu popatrz na rozumowanie przed tw. 1. w tekście Co się powtarza? ).

Sformułujmy to troszeczkę ogólniej: przy rozwijaniu ułamków $\frac{p_1}{73}$, $\frac{p_2}{73}$ występujące kolekcje reszt albo są całkowicie rozłączne, albo takie same.

Pokażemy dalej, że mają tyle samo reszt.

Czym są reszty?

Czym są reszty przy rozwijaniu ułamka $\frac{1}{73}$ ?
To reszty z dzielenie przez 73 liczb: 1, 10, 100, 1000, 10000, ... .
(Pomyśl czym jest 'spisywanie' zer.)

Czym są reszty przy rozwijaniu ułamka $\frac{17}{73}$ ?
To reszty z dzielenia przez 73 liczb: 17, 170, 1700, 17000, 170000, ... .
(Pomyśl, czym jest 'spisywanie' zer.)

Zauważ, że reszty z dzielenie przez 73 liczb: 17, 170, 1700, 17000, 170000, ... można obliczyć inaczej:
mnożąc przez 17 reszty z dzielenie przez 73 liczb: 1, 10, 100, 1000, 10000, ... i na koniec licząc reszty z dzielenie przez 73 tak otrzymanych iloczynów.

Podobnie jest z resztami przy rozwijaniu ułamka $\frac{31}{73}$.
By je obliczyć, wystarczy mnożyć przez 31 reszty z dzielenia przez 73 liczb: 1, 10, 100, 1000, 10000, ... i na koniec obliczyć reszty z dzielenia przez 73 tak otrzymanych iloczynów.

Można powiedzieć tak: reszty przy rozwijaniu ułamka $\frac{p}{73}$ otrzymasz z reszt z rozwijania ułamka $\frac{1}{73}$, mnożąc je przez p modulo 73 (tzn. licząc reszty z dzielenia tych iloczynów przez 73).

To uzasadnia, że liczba reszt jest jednakowa, ponieważ:

jeśli 0 < a, b, p < 73 i $a\neq b$, to reszty z dzielenia przez 73 liczb pa oraz pb są różne.

(Gdyby tak nie było, to różnica pa - pb = p(a-b) dzieliłaby liczbę piewszą 73.)

To, co powyżej, można nieznacznie uogólnić:

Twierdzenie 3. Niech q będzie liczbą pierwszą różną od 2 i 5. Rozwinięcia dziesiętne ułamków właściwych o mianowniku q są okresowe o okresie długości będącej dzielnikiem liczby q-1.

Tylko tyle?
Tak; i właściwie niedużo więcej wiadomo o długościach okresów ułamków!!!

'Maszynka' do dzielenia