Kółko matematyczne


Redaktor działu:
Krzysztof Omiljanowski (komil(at)math.uni.wroc.pl)
pracownik IM UWr


Kongruencje, czyli czasami lepiej wiedzieć mniej

Z geometrii znacie figury przystające. Okazuje się, że pojęcie przystawania funkcjonuje też w arytmetyce, gdzie przystawać mogą liczby (i wcale nie muszą być równe). Gdy rozwiązujemy zadania, zwykle interesuje nas to, czy jakieś liczby są równe, jednak to podejście nie zawsze jest optymalne. W równaniu 2x = 4x–1 lewa strona jest zawsze parzysta, a prawa - nieparzysta (nigdy nie są przystające ze względu na podzielność przez 2), zatem pierwiastków całkowitych być nie może.


Gdy funkcja jest niewiadomą - równania funkcyjne

Równań, w których szukamy liczb spełniających jakiś warunek, nikomu nie trzeba specjalnie przedstawiać. Znacie je dobrze ze szkoły. Teraz zajmiemy się równaniami, w których szukamy wszystkich funkcji spełniających pewien warunek. Równania funkcyjne (bo tak je nazywamy) są trudniejsze od równań szkolnych, bo nie ma algorytmu na ich rozwiązywanie - każde jest inne. Są jednak pewne metody, które dają się dość często stosować. Poznajmy je.


Minimaksy w geometrii elementarnej

Zadania optymalizacyjne, czyli polegające na znajdowanie minimum lub maksimum pewnych zmieniających się wielkości, kojarzą się większości licealistów z użyciem pochodnych. Ale wiele takich zadań można znaleźć także w dziedzinie geometrii elementarnej.  Do ich rozwiązania nie są oczywiście potrzebne metody rachunku różniczkowego.


Punkty szczególne trójkąta

Wiadomo, że każdy trójkąt ma kilka środków, np. środek ciężkości, środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego, punkt przecięcia prostych zawierających wysokości (tzw. ortocentrum trójkąta). Ale punktów szczególnych trójkąta jest znacznie więcej. Opowiemy o nich przy innej okazji. W tym artykule za punkty szczególne (oprócz wyżej wymienionych) uznamy jeszcze środki okręgów dopisanych do trójkąta.


Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza opisuje zależność między bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Orzeka, że iloczyn długości tych przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków tego czworokąta. Jest też prawdziwe twierdzenie odwrotne. Odkrycie tych twierdzeń i przeprowadzenie ich dowodów przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi (100-168) - greckiemu astronomowi, matematykowi i geografowi.

Powrót na górę strony