Zad. 1. Z pewnej liczby jednakowych kostek sześciennych o krawędzi 1 cm zbudowano prostopadłościan. W jego wnętrzu jest 231 punktów, w którym spotyka się osiem kostek. Prostopadłościan ma pole powierzchni najmniejsze z możliwych. Ile ono wynosi?
Zad. 2. Jaka jest suma cyfr zapisanego w systemie dziesiętnym wyniku działania (102025+2025)2?
Zad. 3. Rodzina Wojtka uwielbia mandarynki. W poniedziałek Wojtek kupił ich pierwszą porcję. We wtorek mandarynki nagle podrożały o 50%. Za kolejną porcję o p% mniejszą niż w poniedziałek Wojtek zapłacił we wtorek o p% więcej? O ile procent więcej kupił mandarynek w poniedziałek niż we wtorek?
W grudniu punkty zdobyli:
- 3 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Jagoda Janiś LO Góra, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Jadwiga Turowska LO Toruń, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Miłosz Szczęśniak LO Góra;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Oznaczmy p, q, r - wymiary prostopadłoscianu. Punktów, w których spotyka się 8 kostek, jest (p–1)(q–1)(r–1) = 231. Zachodzi 231 = 3.7.11 = 1.21.11 = 1.7.33 = 1.3.77 = 1.1.231. Szukany prostopadłoscian moze mieć wymiary: 4 cm x 8 cm x 12 cm, 2 cm x 22 cm x 1 cm, 2 cm x 8 cm x 34 cm, 2 cm x 4 cm x 78 cm i 2 cm x 2 cm x 232 cm. Wśrod nich najmniejsze pole powiechni wynoszące 352 cm2 ma prostopadłościan o wymiarach 4 cm x 8 cm x 12 cm.
Zad. 2. (102025+2025)2 = (102025)2+2.102025.2025+20252 = 104050+4050.102025+4100625, zatem szukana suma cyfr wynosi 1+4+5+4+1+6+2+5 = 28.
Zad. 3. Oznaczmy przez x wartość kupionych w poniedziałek mandarynek (w złotych), a przez m - ich masę (w kilogramach). Wówczas poniedziałkowa cena mandarynek wynosi x/m zł za kilogram. We wtorek wartość kupionych mandarynek była wyższa o p%, czyli wyniosła (1+p/100)x zł, natomiast ich masa była mniejsza o p% i wynosiła (1–p/100)m kg. Cena 1 kg mandarynek kupionych we wtorek wynosiła [(1+p/100)x]/[(1–p/100)m] = (100+p)/(100–p).x/m zł. Z treści zadania wiemy, że wtorkowa cena mandarynek była równa 1,5 ceny poniedziałkowej, co prowadzi do równania (100+p)/(100–p).x/m = 1,5.x/m. Po uproszczeniu otrzymujemy p = 20. Oznacza to, że w poniedziałek pan Wojtek kupił m kg mandarynek, a we wtorek 0,8m kg. W poniedziałek kupił zatem o 0,2m kg więcej niż we wtorek, co stanowi wzrost o 0,2m/0,8m⋅100% = 25% w stosunku do wtorku.
