Zad. 1. Niech f(k) = log2log24(4^k). Oblicz f(3).
Zad. 2. Dane są trzy jednakowe okręgi parami styczne zewnętrznie. Pomiędzy nimi znajduje się mniejszy okręg styczny zewnętrznie do każdego z nich. Jaki jest stosunek promienia małego okręgu do promienia okręgów większych?
Zad. 3. Znajdź wartość f(3), jeśli dla dowolnego x≠0 spełniona jest równość f(x)+2f(1/x)=x2.
W listopadzie punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra, Lena Miłosz LO Dobrzeń Wielki, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Miłosz Szczęśniak LO Góra, Jadwiga Turowska LO Toruń, Michał Woźniak LO Oleśnica, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Bruno Doszak LO Dobrzeń Wielki;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. f(3)=7, bo log2log24(4^3)=log2log24(2^6)= log2log2464 = log2log22128=log2128=7.
Zad. 2. Oznaczmy odpowiedni promienie małego i dużego okręgu przez r=OP oraz R=PO3. Zauważmy, ze trójkąt O1O2O3 jest trójkątem równobocznym o boku 2R i wysokości h=R√3. Wysokości tego trójkąta przecinają się w punkcie O, który dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 na odcinki długości 2/3h i 1/3h. Zauważmy, że 2/3h=R+r. Otrzymujemy, więc równanie R+r=2/3R√3, skąd r=2/3R√3-R=[(2√3-3)/3].R. Zatem r/R=(2√3-3)/3.
Zad. 3. Dla x=3 oraz x=1/3 otrzymujemy układ równań f(3)+2f(1/3)=32 i f(1/3)+2f(3)=(1/3)2, którego rozwiązaniem jest f(3)=-79/27.
