Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Żeby rozwiązać nierówność kwadratową jednej z postaci

• ax²+bx+c < 0,
• ax²+bx+c ≤ 0,
• ax²+bx+c > 0,
• ax²+bx+c ≥ 0,
• ax²+bx+c ≠ 0,

trzeba najpierw rozwiązać równanie ax²+bx+c = 0, co opisano tutaj.

Następnie szkicujemy wykres paraboli, której wzór analityczny stanowi lewą stronę równania i rozwiązanie nierówności odczytujemy z tego wykresu. Przy szkicowaniu wykresu paraboli należy wziąć pod uwagę jej następujące własności:

• wykres przecina oś OX w miejscach, które są pierwiastkami równania,
• ramiona paraboli są skierowane w górę dla a>0 lub w dół dla a<o,
• parabola ma wierzchołek na linii pionowej przecinającej oś OX pośrodku między miejscami zerowymi,
• parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez jej wierzchołek.  

Przykłady

• x²+4x+3 < 0
  Rozwiązujemy równanie x²+4x+3 = 0. Otrzymujemy dwa pierwiastki: -1 oraz 3. Ponieważ współczynnik a przy x² jest dodatni (wynosi 1), ramiona paraboli są skierowane do góry, a wykres prawej strony nierówności wygląda tak, jak na rysunku obok. Widać z niego, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane pomiędzy pierwiastkami czyli na przedziale (-1, 3) i ten przedział jest szukanym rozwiązaniem nierówności.
• x² + 3x - 5 > 0
  Rozwiązujemy równanie x²+3x-5 = 0. Otrzymujemy dwa pierwiastki: -1.5 - √29/2 ≈ -4,2 oraz -1.5 + √29/2 ≈ 1,2. Ponieważ współczynnik a przy x² jest dodatni (wynosi 1), ramiona paraboli są skierowane do góry, a wykres prawej strony nierówności wygląda tak, jak na rysunku obok. Widać z niego, że wartości większe od zera są przyjmowane pomiędzy ujemną nieskończonością a pierwszym pierwiastkiem oraz pomiędzy drugim pierwiastkiem a dodatnią nieskończonością, czyli na zbiorze (-∞, -1.5-√29/2)[tex]\cup[/tex](-1.5+√29/2, ∞) i ten zbiór jest szukanym rozwiązaniem nierówności.
• -3x² + 4x + 2 < 0
  Rozwiązujemy równanie -3x²+4x+2 = 0. Otrzymujemy dwa pierwiastki: ²/₃ - ^√10/₃ ≈ -0,4 oraz ²/₃ + ^√10/₃ ≈ 1,7. Ponieważ współczynnik a przy x² jest ujemny (wynosi -3), ramiona paraboli są skierowane w dół, a wykres prawej strony nierówności wygląda tak, jak na rysunku obok. Widać z niego, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane pomiędzy ujemną nieskończonością a pierwszym pierwiastkiem oraz pomiędzy drugim pierwiastkiem a dodatnią nieskończonością, czyli na zbiorze (-∞, ²/₃-^√10/₃)[tex]\cup[/tex](²/₃+^√10/₃, ∞) i ten zbiór jest szukanym rozwiązaniem nierówności.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1) x² ≥ 4

2) x² < 2

3) x²-5x ≥ 0

4) -2x²+5x >0

5) x²+3x-5 > 0

6) -2x²+4x+2 < 0

7) -3x²+4x+2 ≤ 0

8) (x-3)(x+2) > (x-1)²+2  

9) (x-3)(x+3) ≤ (x+4)²-3x