[3, 4, 5] w 3D

Trójkąt prostokątny, którego boki mają długości całkowite, zwykło się nazywać pitagorejskim. Najbardziej znanym spośród pitagorejskich trójkątów jest ten o bokach 3, 4, 5.

Każdy nauczyciel docenia jego walory. Ułożono o nim wiele zadań, bo na ogół mają 'zgrabne odpowiedzi', na przykład:
 - pole = . . . . . ,
 - obwód = . . . . . ,
 - promień okręgu wpisanego = . . . . . ,
 - promień okręgu opisanego = . . . . . .

Odpowiednikiem trójkąta w przestrzeni jest czworościan, a trójkąta pitagorejskiego - czworościan pitagorejski, to znaczy

czworościan o krawędziach całkowitych
i ścianach będących trójkątami prostokątnymi.

Tylko czy taki czworościan w ogóle istnieje? Spróbujemy go znaleźć.
Rozważania będą dość trudne, choć całkiem elementarne.

 

---

 

Rozważmy na początek czworościan ABCD taki, że w wierzchołku C wszystkie ściany mają kąty proste, tzn.

ACB = ACD = BCD = 90^o.

Gdy CE jest wysokością trójkąta ABC,
to DE jest wysokością trójkąta ABD
(pomyśl o płaszczyźnie CED - jest prostopadła do AB).

Zatem kąty EAD i EBD są ostre.

Kąt ADB też jest ostry (można powtórzyć powyższe rozumowanie dla wysokości CF ściany CBD).

Zatem trójkąt ABD jest ostrokątny (można to też uzasadnić, korzystając z tw. Pitagorasa).

Wniosek 1.    Jeśli w czworościanie w jednym z wierzchołków wszystkie ściany mają kąty proste, to ściana przeciwległa do tego wierzchołka jest trójkątem ostrokątnym.

Wniosek 2.    Nie istnieje czworościan pitagorejski, w którym w jednym z wierzchołków wszystkie ściany mają kąty proste.

 

---

 

Może uda się zbudować czworościan pitagorejski z samych trójkątów 3-4-5?
Zbadajmy to.

Gdyby w podstawie ABC było:

BC = 3, AC = 4 i AB = 5, to wierzchołek D musiałby leżeć tak, że:
  BD = 4 (nie może być =3, bo . . . . . ,
                nie może być =5, bo . . . . . ),
  CD = 5 (nie może być =3, bo . . . . . ,
                nie może być =4, bo . . . . . ),
  AD = 3 (nie może być =4, bo . . . . . ,
                nie może być =5, bo . . . . . ).
Zatem kątami prostymi byłyby CBD i CAD.
Zobacz

Gdyby kąt CBD był prosty, to punkt D leżałby gdzieś nad/pod prostą BD'.

Gdyby kąt CAD był prosty, to punkt D leżałby gdzieś nad/pod prostą AD'.

Zatem D leżałby nad/pod punktem D'.

Jednak wtedy trójkąt ABD nie byłby prostokątny. Dlaczego?

Dokładniej: punkt D musiałby leżeć w przecięciu okręgów zaznaczonych na rysunku

Z powyższych rozważań wynika:

Wniosek 3.    Nie istnieje czworościan pitagorejski o ścianach 3,4,5.

Jeśli dokładnie prześledzisz powyższe rozumowanie, to zobaczysz:

Wniosek 4.    Nie istnieje czworościan ABCD, w którym kąty: ACB, CBD, CAD byłyby proste i ściana ABD byłaby trójkątem prostokątnym.

 

---

 

Fiasko dotychczasowych poszukiwań czworościanu pitagorejskiego może być nieco deprymujące. Wszystkie powyższe rozumowania pokazują (!), że czegoś nie ma.
Nie ma pewnych szczególnych czworościanów o ścianach będących trójkątami prostokątnymi.
Może nie ma żadnych czworościanów o ścianach będących trójkątami prostokątnymi?

Nie jest tak źle. Zobacz obok.

Czworościan ABCD jest wycięty z prostopadłościanu 3×4×h. Wszystkie jego ściany są trójkątami prostokątnymi.

Ale czy jest to czworościan pitagorejski?
Czy można tak dobrać h = AD, aby wszystkie jego krawędzie były całkowite?

Niestety nie. Sprawdź!
Zauważ, że BD > CD. Dlaczego?
Ponadto różnica długości tych krawędzi jest równa A różnica mniejsza od 1 oznacza, że nie mogą to być dwie liczby całkowite!

 

---

 

Czas wreszcie na jakiś sukces!

Czworościan wycięty (jak powyższy) z prostopadłościanu 104 × 153 × 673 jest pitagorejski.

Dokładniej: czworościan ABCD, w którym

AB = 185, BC = 153, CA = 104, AD = 672, BD = 697, CD = 680, jest pitagorejski. Wszystkie jego ściany są trójkątami prostokątnymi.

Można to sprawdzić za pomocą twierdzenia Pitagorasa (a raczej twierdzenia do niego odwrotnego).

Uroda tego czworościanu jest niemała. Oblicz:

  - pole powierzchni całkowitej,

  - objętość,

  - promień kuli wpisanej w czworościan,

  - promień kuli opisanej na czworościanie.

 

---

 

Trójkątów pitagorejskich o różnych kształtach (tzn. niepodobnych) jest dość sporo (podaj kilka przykładów), a czworościanów pitagorejskich nie ma dużo. Istnieją tylko dwa niepodobne czworościany pitagorejskie o krawędziach długości mniejszej niż 1000. Jeden właśnie opisaliśmy.
Ten drugi ma krawędzie o długościach: 520, 117, 756, 533, 765, 925, dokładniej:

AB = 533, BC = 520, CA = 117, AD = 756, BD = 925, CD = 765.

Jak sprawdzić, że faktycznie nie ma innych?

Po pierwsze:   należy pokazać, że w czworościanach pitagorejskich kąty proste ścian są rozłożone tak, jak na rysunku obok. (Trzeba wykluczyć inne układy, podobnie jak we wnioskach 1-4. Pomijamy tutaj te żmudne rozważania.)

Po drugie:   należy rozwiązać w liczbach naturalnych, mniejszych od 1000 układ równań:

a² + b² = c²,   b² + d² = e²,   c² + d² = f². To zadanie dla... komputera.
W efekcie dostajemy dwa (niepodobne) czworościany opisane powyżej.

 

---

---