MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

B(a)ryłka Archimedesa

Data ostatniej modyfikacji:
2012-11-4
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna

Baryłką Archimedesa nazwaliśmy bryłę przedstawioną na pierwszym z poniższych rysunków.
Na dalszych pokazujemy jej różne oblicza. W talii ma kwadrat, z profilu i en face jest okrągła, a jej połowa wygląda jak igloo.
Czy widzisz, że jest to część wspólna dwóch walców o jednakowych promieniach R, których osie przecinają się pod kątem prostym?

 

Rysunki są dynamiczne - można je obracać. (aplet www.javaview.de/)

       
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
       
rys. B.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       


       
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
       
rys. B.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       

 

Jakie jest pole powierzchni takiej baryłki?   Jaka jest jej objętość?

Baryłka może być przybliżana przez bryły zrobione 'z desek' - jak na poniższym rysunku.
Najważniejsza obserwacja pochodzi właśnie od Archimedesa:

pole powierzchni baryłki jest takie samo, jak pole płotu okalającego tę baryłkę.
Dla przybliżeń baryłki 'z desek' niemal też tak jest: pole powierzchni bryły 'z desek' jest równe polu powierzchni płotu o takiej samej wysokości (tylko nieco węższego od kwadratu). Widać to na następnym rysunku.

 


k = 4    
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
k = 4    
rys. B.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       

 

Poniżej widać trapez ABCD - połowę jednej 'deski' i odpowiadający jej fragment płotu - prostokąt A'B'C'D'. Punkt M jest środkiem AB. Mają to samo pole (to jest właśnie pomysł Archimedesa).
By to zobaczyć, znajdź na rysunku kąt równy kątowi OMM''.
Dalej jest nietrudno. Najpierw zauważ (popatrz 'z góry'), że pole trapezu jest równe AB × MN. Dalsze szczegóły ukryte są na rysunku.

 

Rysunek jest dynamiczny - można przesuwać pogrubione punkty i suwaki (aplet C.a.R.)

 

Z równości pól czworokątów ABCD i A'B'C'D' wynika równość objętości ostrosłupów: ABCDO i A'B'C'D'O. Jak?

Te elementarne obserwacje pozwalają sformułować ogólne wnioski.

Pole powierzchni baryłki jest czterokrotnie większe
od pola powierzchni przekroju baryłki w talii (tzn. od pola kwadratu).
 
Objętość baryłki jest czterokrotnie większa
od objętości ostrosłupa o podstawie takiej, jak przekrój w talii (kwadrat)
i wysokości R (połowa wysokości całej baryłki).

 


       
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
       
rys. B.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       

 

 

To jeszcze nie koniec.
Można pomyśleć o innych baryłkach, które w talii mają nie kwadrat, a wielokąt foremny.
Można sprawdzić, że wszystkie poprzednie obserwacje pozostają prawdziwe. Nigdzie nie korzystaliśmy przecież z kształtu talii. W szczególności prawdziwe są tezy dotyczące pola powierzchni i objętości.

 


n = 6        
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       
n = 6        
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       

 

 

To jeszcze nie koniec.
Ponieważ baryłkami można przybliżać kulę, prawdziwe są następujące zależności.

Pole powierzchni kuli o promieniu R jest czterokrotnie większe
od pola powierzchni przekroju równikowego (tzn. od pola koła wielkiego).
 
Objętość kuli jest czterokrotnie większa
od objętości stożka o podstawie umieszczonej na równiku
i wysokości (R) sięgającej do bieguna.

 


       
rys. A.
P ( , , )
 
Q ( , , )
 
R ( , , )
 
S ( , , )
 
       

 

 

Powrót na górę strony