Parabola, elipsa i... niespodzianka

Niech symbol Par(O,k) oznacza te wszystkie punkty, których odległości od O i od k są równe.
Gdy k oznacza prostą i O - punkt poza tą prostą, to Par(O,k) tworzy linię zwaną parabolą.
Niektóre własności tej linii zbadane zostały w zadaniach zebranych w tekście Parabola bez rachunków.

Teraz przyjmiemy, że k oznacza okrąg i że O jest punktem wewnątrz tego okręgu.
Par(O,k) tworzy linię zwaną elipsą. Jakie ma ona własności? Okazuje się, że choć wygląda inaczej, elipsa ma wiele wspólnego z parabolą.
Poniżej niektóre zadania są sformułowane tak samo jak dla paraboli (jedynie zamieniono nazwy 'parabola' i 'elipsa').
Czy mają takie same rozwiązania? Zbadaj to!

Zadanie E.0.  Jak wyznaczać punkty Par(O,k)?

Rozwiązanie.  Dla zadanego punktu P' na k, punkt P przecięcia symetralnej odcinka OP' i prostej prostopadłej do k przechodzącej przez P' jest punktem Par(O,k).
(Zobacz kroki konstrukcji - kliknij .)

Uwaga.   Dla (dowolnego) punktu Z przez Z' oznaczmy taki punkt na k, że ZZ' jest odległością Z od k (prosta Z'Z jest prostopadła do k).
Dla punktu P z Par(O,k) przez s_P oznaczamy symetralną odcinka OP'.

Zadanie E.1.  Niech punkt P należy do Par(O,k).
Niech punkt X P leży na prostej s_P Uzasadnij, że

Zadanie E.2.  Niech punkt P należy do Par(O,k). i niech punkt Y leży po przeciwnej stronie prostej s_P niż punkt O.
Uzasadnij, że

Wniosek E.A.   Proste s_P są podpierającymi, tzn. elipsa leży po jednej stronie prostej s_P.
(To 'niemal' to samo co stwierdzenie: s_P są stycznymi do elipsy.)

Zadanie E.3.  Niech punkt Z leży 'pod' Par(O,k). Skonstruuj taki punkt P należący do Par(O,k), że

Zadanie E.4.  Niech punkt P należy do Par(O,k) i punkt P'' leży na półprostej P'P poza odcinkiem P'P. Niech n_P będzie prostą prostopadłą do s_P przechodzącą przez P.
Uzasadnij, że

n_P jest dwusieczną kąta OPP'',
czyli    | 0PN |  =  | NPP'' | .

Wniosek E.B.  Promienie z żarówki umieszczonej w punkcie O, po odbiciu od elipsy utworzą wiązkę światła prostopadłą do k.

Zadanie E.6.  Niech punkty P, Q należą do Par(O,k). Niech punkt K będzie punktem przecięcia prostej s_P i symetralnej odcinka P'Q'. Uzasadnij, że

Definicja.  Niech punkty A,B nie leżą na prostej prostopadłej do k.
Punkt C nazywamy k-środkiem odcinka AB,
jeśli C jest punktem przecięcia AB i symetralnej odcinka A'B'.
 
(Przypomnijmy, że dla dowolnego punktu Z przez Z' oznaczamy taki punkt na k,
że ZZ' jest odległością Z od k.)

Uwaga.  Gdy k przez prostą, to pojęcie k-środka pokrywa się z pojęciem środka odcinka AB.

Zadanie E.7.  Niech punkty P, Q, R należą do Par(O,k) tak, że R' leży na symetralnej odcinka P'Q'.
Niech punkt K będzie punktem przecięcia prostej s_P i symetralnej odcinka P'Q'. Uzasadnij, że

Zadanie E.9.  Niech punkty P, Q należą do Par(O,k).
Niech punkt K będzie punktem przecięcia prostych s_P, s_Q i niech punkty M, N będą k-środkami odcinków PK i KQ . Uzasadnij, że

Zadanie E.10.  Niech punkty P, Q należą do Par(O,k).
Niech punkt K będzie punktem przecięcia s_P, s_Q,
niech punkty M, N będą k-środkami odcinków PK, KQ,
niech punkt R będzie k-środkiem odcinka MN
i niech punkty M_P, M_R, N_R, N_Q będą k-środkami odcinków PM, MR, RN, NQ. Uzasadnij, że

Uwaga. 
Na rysunku pokazano, jak mając punkty P, Q z Par(O,k) i proste s_P, s_Q, wyznaczać dalsze punkty z Par(O,k) (te czerwone). Czerwone punkty są k-środkami odcinków o czarnych końcach o numerach o jeden mniejszych. (Na rysunku punkty, które wydają się k-środkami pewnych odcinków, są faktycznie k-środkami. Użyj kółka myszki, by powiększyć/pomniejszyć obrazek.)
Liczby pokazują kolejność kroków konstrukcji.