MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Zoom, zoom, zoom,...

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-11
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą

Operator Hatchinsona - pod tą tajemniczą nazwą kryje się łatwy sposób otrzymywania najprostszych fraktali. Wystarczy pomniejszać, pomniejszać, pomniejszać... .
Wbrew pozorom coś zostaje. Zobaczmy co.

 

Niech J oznacza jednokładność o skali 1/2 względem ustalonego punktu, czyli po prostu dwukrotne pomniejszenie.

Gdy ustaloną figurę A0 będziemy wielokrotnie pomniejszać, to znaczy gdy utworzymy ciąg figur:

  A0,

  A1 = J(A0),

  A2 = J(A1) = J(J(A0)),

  A3 = J(A2) = J(J(A1)) = J(J(J(A0))),

  A4 = J(A3) = J(J(A2)) = J(J(J(A1))) = J(J(J(J(A0)))),
  ...

i tak 'w nieskończoność',
to będą one coraz mniejsze, 'na końcu' dostaniemy punkt - ów środek jednokładności.

Nic w tym dziwnego ani pięknego. Prawdziwa zabawa zaczyna się, gdy wziąć nie jedną, a kilka jednokładności.


 

Na przykład rozważymy trzy jednokładności

J(-1,1), J(-1,-1), J(1,-1)
względem punktów (-1,1), (-1,-1), (1,-1),
o skalach np. 1/2, 1/2, 1/2.

Dla ustalonej figury A0 tworzymy nową A1 = H(A0).
Mianowicie zmniejszamy A0 przez każdą z tych jednokładności i na koniec sumujemy te figury, tworząc jedną figurę A1.

H(A) = J(1,-1)(A0) J(-1,-1)(A0) J(1,-1)(A0)
Zatem A1 składa się z trzech pomniejszonych kopi A0, jednak dalej trzeba myśleć o A1 jako o jednej figurze.

Potem należy powtarzać, powtarzać, powtarzać... powyższą operację, czyli tworzyć ciąg figur:

A0,
A1 = H(A0),
A2 = H(A1) = H(H(A0)),
A3 = H(A2) = H(H(A1)) = H(H(H(A0))),
A4 = H(A3) = H(H(A2)) = H(H(H(A1))) = H(H(H(H(A0)))),
...

Co z tego powstaje 'w nieskończoności"? Nie jeden punkt, lecz interesująca figura - tzw. uszczelka Sierpińskiego.

Poniższe narzędzie powzoli zobaczyć wiele takich figur. Warto eksperymentować wybierając różne środki i skale jednokładności. Ograniczając się do skal będących ułamkami: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4 dostajemy i tak sporo ciekawych obiektów. Miłej zabawy.

 

Zoomownik

 

ZZZ

 

 

Skale jednokładności ( 0 < s < 1 ):

Początkowa figura A0:

Przykłady:

       

 

 

 

Ćwiczenie

Spróbuj odgadnąć skale jednokładności, jakich użyto przy generowaniu poniższych przykładów fraktali.

Powrót na górę strony