Grube punkty

Postaramy się udzielić odpowiedzi, podając dwie liczby - oszacowanie z dołu i z góry.
To znaczy podamy:

Oto pierwszy pomysł:

Wydaje się, że

pole błękitnego kwadratu    pole 'prawdziwego' kwadratu    pole zielonego kwadratu.

(Jeśli znasz wzór na długość przekątnej kwadratu, wyznacz pola błękitnego i zielonego kwadratu.)

Jak uzasadnić, że tak jest faktycznie?
W pierwszej chwili może wydawać się, że 'prawdziwy' kwadrat musi zawierać błękitny kwadrat i musi być zawarty w zielonym kwadracie. Poniżej widać, że tak być nie musi (zmieniaj położenie czarnego kwadratu).
Jednak zachodzi powyższa nierówność pomiędzy polami. Zobacz.

Każdy kwadrat, o wierzchołkach leżących w brązowych kołach, ma przekątne nie dłuższe od średnicy czerwonego okręgu, czyli nie większe od przekątnej zielonego kwadratu. Zatem zielony kwadrat jest największym z możliwych.

Każdy kwadrat, o wierzchołkach leżących w brązowych kołach, ma przekątne nie krótsze od średnicy niebieskiego okręgu (= najkrótszy z odcinków łączących punkty koła wokół A i koła wokół C), czyli każdy kwadrat ma przekątne nie krótsze od przekątnej błękitnego kwadratu. Zatem błękitny kwadrat jest najmniejszym z możliwych.

Ale kto powiedział, że 'prawdziwe' punkty A', B', C', D' tworzą akurat kwadrat?
Może to jakiś inny czworokąt?
Czy zatem pole dowolnego czworokąta A₁B₁C₁D₁ o wierzchołkach leżących w brązowych kołach jest oszacowane przez pola błękitnego i zielonego kwadratu?

Uzasadnimy, że pole czworokąta A₁B₁C₁D₁ jest nie większe od pola zielonego kwadratu.
 
Przekątna A₁C₁ dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty o podstawie A₁C₁, nie dłuższej niż przekątna zielonego kwadratu. Suma wysokości tych trójkątów, opuszczonych na podstawę A₁C₁ jest nie większa od przekątnej zielonego kwadratu.
Zatem pole A₁B₁C₁D₁ jest nie większe od pola zielonego kwadratu.

A co z oszacowaniem z dołu?
Czy pole czworokąta A₁B₁C₁D₁ jest nie mniejsze od pola błękitnego kwadratu?
Zbadamy to w drugim podejściu.

Zamiast czterech punktów, rozważmy trzy: A, B, C, które z dokładnością przybliżają 'prawdziwe' punkty A', B', C'. Zobaczmy, co zostało z poprzedniego pomysłu.
Na poniższym rysunku, okręgi czerwony i niebieski mają ten sam środek, a promienie różnią się o od promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Czy pole trójkąta A₀B₀C₀ jest najmniejsze z pól trójkątów o wierzchołkach w brązowych kołach?
Zobacz.

Widać, że punkty czerwonego łuku odciętego przez prostą równoległą do B₀C₀, leżą bliżej B₀C₀ niż A₀. Zatem 'prawdziwy' trójkąt może mieć pole mniejsze od pola trójkąta A₀B₀C₀. Poprzedni pomysł nie dał oszacowania z dołu.

Pomysł drugi.
Jeśli prosta równoległa do boku B₁C₁ poprowadzona przez wierzchołek A₁, nie jest styczna do brązowego okręgu, to trójkąt A₁B₁C₁ możemy 'poprawić'.
Pomysł poprawiania pokazany jest na poniższym rysunku.
Dostajemy kolejno trójkąty: A₂B₁C₁, A₂B₂C₁ i A₂B₂C₂. Ich pola maleją.

Można kontynuować poprawianie. Na poniższym rysunku trójkąt A₃B₃C₃ powstał z poprawienia trójkąta A₂B₂C₂ tak samo, jak trójkąt A₂B₂C₂ powstał z trójkąta A₁B₁C₁.
I tak dalej.

Mamy zatem ciąg trójkątów:
        A₁B₁C₁,
        A₂B₂C₂,
        ...
        A_nB_nC_n,
        A_n+1B_n+1C_n+1,
        ...
takich, że ich pola są coraz mniejsze. Precyzyjniej: pole następnego trójkąta jest nie większe od pola poprzedniego.

Czy ten ciąg przybliża nas do celu? Czy pozwoli oszacować z dołu pole trójkąta?
Nasuwa się wiele szczegółowych pytań dotyczących tego ciągu trójkątów.

    Czy od pewnego miejsca ciąg ten jest stały, tzn. czy   A_nB_nC_n = A_n+1B_n+1C_n+1?

    Jeśli TAK, to czy uzyskany trójkąt ma najmniejsze pole z możliwych?

        Czy uzyskany trójkąt ma najmniejsze pole z możliwych?

        Czy uzyskany trójkąt zależy od początkowego trójkąta A₁B₁C₁?

    Jeśli NIE, to znaczy, jeśli za każdym razem dostajemy nowy trójkąt, to:

        czy te trójkąty są zbieżne, to znaczy czy są coraz bliżej pewnego trójkąta granicznego?

        czy ten graniczny trójkąt ma najmniejsze pole z możliwych?

        czy ten graniczny trójkąt zależy od początkowego trójkąta A₁B₁C₁?

        jak szybko poprawianie przybliża nas do tego granicznego trójkąta?

Odpowiedzi na niemal wszystkie pytania można zobaczyć na poniższym rysunku (tu trójkąt ABC jest równoboczny). Wystarczy zmieniać wierzchołki A₁, B₁, C₁ oraz .

Zatem jest FATALNIE.

W przypadku czworokątów też bywa źle.

Uwaga. Dlaczego pokazano tu pomysł 'poprawiania'? Przecież okazał się bezowocny i nie dał rozwiązania.
'Poprawianie' jest często stosowane w matematyce, w szczególności tam, gdzie nie ma dokładnych metod rozwiązania problemu.
Tu na szczęście mamy jeszcze... trzeci pomysł.

(Dla przejrzystości ograniczymy się tylko do wielokątów wypukłych.)

'Prawdziwy' czworokąt A'B'C'D' ma wierzchołki w pobliżu wierzchołków czworokąta ABCD. To oznacza, że brzeg 'prawdziwego' czworokąta A'B'C'D' leży cały w zielono-błękitnym obszarze (o szerokości nie przekraczającej nigdzie 2). Sprawdź.

Zatem

P_ABCD - P_{obszar błękitny}        P_A'B'C'D'        P_ABCD + P_{obszar zielony}

Ponieważ
        P_{obszar błękitny}        Obwód ABCD   ×     (dlaczego?) ,
        P_{obszar zielony}    =    Obwód ABCD   × + ²     (dlaczego?),
mamy ostatecznie

P_ABCD  -  Obwód ABCD ×        P_A'B'C'D'        Obwód ABCD ×  +  ² .

Można też powiedzieć, że pola czworokątów A'B'C'D' i ABCD różnią się nie więcej niż o

Obwód ABCD ×  +  ² .

Ponieważ zazwyczaj jest małe, na przykład 1/100, ² jest radykalnie mniejsze i można (z pewnym przybliżeniem) powiedzieć

pola czworokątów A'B'C'D' i ABCD różnią się nie więcej niż o   Obwód ABCD × .

Uwaga. Powyższe oszacowania można uogólnić na dowolne wielokąty wypukłe.

Zagadka. Dlaczego pomysł trzeci został pokazany na koniec? Dlaczego nie znalazł się na pierwszym miejscu?