Gwiazdy zegarowe - arytmetycznie

Na cyferblacie o promieniu R zaznaczamy n 'godzin', zaczynając numerację od zera.
Gdy wędrujemy po tarczy, zaczynając od 0, krokiem k i łączymy odcinkami co k-tą 'godzinę', po pewnym czasie powracamy do punktu 0. W ten sposób dostajemy gwiazdę G (n, k).
Pobaw się tarczą zegara i zobacz, jak ciekawe gwiazdy można na niej otrzymać. Możesz zacząć od przeczytania tekstu Gwiazdy zegarowe – geometrycznie.

Niektóre z tych gwiazd są wielokątami foremnymi wypukłymi, a inne - wielokątami foremnymi gwiaździstymi.
Dalej przez gwiazdę będziemy rozumieć tylko łamaną, a nie obszar przez nią wyznaczony.
W szczególności o G (12, 6) myślimy, że jest łamaną 060, złożoną z dwóch odcinków.

Czy wiesz jak wygląda gwiazda G (84, 30)?
Czy jest wypukła? Ile ma boków?
Proponujemy szereg zadań i twierdzeń, które pozwolą odpowiedzieć na te i inne pytania.

Poniżej stale zakładamy, że k < n i że są to dodatnie liczby całkowite.

 
Zadanie 1.       Podaj po trzy przykłady gwiazd G (n, k), które są:

  a)   kwadratami,

  b)   trójkątami równobocznymi,

  c)   sześciokątami foremnymi.

 
Zadanie 2.       Dla   k < n ≤ 16  ile jest wszystkich gwiazd G (n, k), które są:

  a)   kwadratami?

  b)   trójkątami równobocznymi?

  c)   sześciokątami foremnymi?

 
Twierdzenie 1.       G (n, k)  =  G (n, n–k).

Dowód.  Wystarczy popatrzeć na cyferblat odbity w lustrze.

 
Zadanie 3.       Ile jest wszystkich gwiazd G (n, k) gdy:

  a)     k < n = 16?

  b)     k < n = 31?

  c)     k < n = 131?

  d)     5 = k < n < 16?

 
Twierdzenie 2.       Dla  k', k''  ≤  n/2,  jeśli  k' ≠ k'', to  G (n, k')  ≠  G (n, k'').

Dowód.  Różnią się na przykład długościami boków.

 
Twierdzenie 3.       Dla ustalonego n liczba różnych gwiazd G (n, k) jest równa n/2, dla parzystego n i (n–1)/2, dla nieparzystego n.

Dowód.  Jest to natychmiastowy wniosek z twierdzeń 1 i 2.

 
Twierdzenie 4.       G (j·n, j·k)  =  G (n, k).

Dowód.  G (60, 35) = G (5·12, 5·7) na cyferblacie wygląda tak, jakby oprócz godzin zaznaczono minuty. Zatem jest tym samym, co G (12, 7).
Ogólne rozumowanie jest analogiczne.

 
Zadanie 4.       Dlaczego nie jest poprawne stwierdzenie:

 
Twierdzenie 5.       G (n, k)   jest wypukłym wielokątem foremnym,

Dowód.  Najpierw rozpatrzymy przypadek k ≤ n/2.
Gdy k dzieli n, to G (n, k)  =  G (n/k, 1), na mocy twierdzenia 4 i jest oczywiście wielokątem wypukłym.
Gdy k nie dzieli n, to wędrując po okręgu krokiem k, po pierwszym okrążeniu nie trafimy w zero (dlaczego?). Przeskoczymy je. Powstanie zatem samoprzecięcie łamanej G (n, k), czyli nie jest ona ograniczeniem wielokąta wypukłego.
Przypadek k ≥ n/2 można zobaczyć w... lustrze. Szczegóły pomijamy.

Widać już chyba, że istotny wpływ na budowę gwiazdy ma NWD(n, k), tzn. największy wspólny dzielnik liczb n i k, który dalej oznaczać będziemy literą d, d = NWD(n, k).

 
Twierdzenie 6.       G (n, k)  =  G (n/d, k/d) ,  gdzie d = NWD(k, n).

 
Zadanie 5.       Dlaczego nie jest poprawne stwierdzenie:

 
Twierdzenie 7.       Dla  k' < n'   i   k''<n''   mamy:

 
Twierdzenie 8.       G (n, k)   ma   n/d  wierzchołków, gdzie d = NWD(k, n).

 
Twierdzenie 9.       G (n, k)   ma   n/d  boków, gdzie d = NWD(k, n).

 
Twierdzenie 10.       G (n, k)   jest wypukłym wielokątem foremnym,

Gwiazda (łamana) G (18, 10) przecina się w 27 punktach (ma 27 punktów samoprzecięcia).
Leżą one na trzech okręgach - ringach (o środkach w S), po 9 punktów na każdym ringu.

 
Zadanie 6.       Ile jest ringów punktów samoprzecięcia gwiazdy:
    a)    G (25, 10)?
    b)    G (26, 11)?
    c)    G (26, 24)?
    d)    G (126, 24)?
    e)    G (147, 135)?
    f)    G (n, k)?

 
Zadanie 7.       Ile jest punków samoprzecięcia gwiazdy:
    a)    G (25, 10)?
    b)    G (26, 11)?
    c)    G (26, 24)?
    d)    G (126, 24)?
    e)    G (147, 135)?
    f)    G (n, k)?