Klasyfikacja 'wklęsłych trójkątów'?

Poniżej widać kolekcję 'wklęsłych trójkątów'. Te niby trójkąty nazwijmy krótko w-trójkątami.

W-trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy w-boki będące łukami. Są to nie byle jakie łuki, ale łuki okręgów parami stycznych. Takie w-trójkąty zobaczymy na przykład pomiędzy trzema stykającymi się monetami.

Trójkąty (zwykłe) dzielimy na ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Wydaje się, że w przypadku w-trójkątów trudno mówić o takim podziale, bo wszystkie kąty w-trójkątów mają 0^o.

Jednak również w przypadku w-trójkątów można wprowadzić trochę podobny podział. Patrz!

Odpowiednikiem zwykłych trójkątów rozwartokątnych są niebieskie w-trójkąty, w których jeden z okręgów zawierający w-bok jest styczny wewnętrznie do dwóch pozostałych okręgów zawierających w-boki. (Trudno znaleźć monety, z których można ułożyć taki w-trójkąt.)

A czerwone w-trójkąty? To to odpowiedniki trójkątów prostokątnych!
Widać więc, że w określeniu w-trójkątów powinniśmy dopuścić taki przypadek, gdzie dwa w-boki są łukami okręgów stycznych wzajemnie i stycznych do prostej zawierającej trzeci w-bok (będący zwykłym odcinkiem).

Wśród zwykłych trójkątów wyróżniamy też trójkąty równoramienne i równoboczne.
W trójkątach równoramiennych dwa boki mają tę samą długość.

Gdy wybierzemy dwie jednakowe monety styczne, to dostawiając trzecią, otrzymamy w-trójkąt równoramienny. Jego dwa w-boki są takie same, czyli przystające.

Czy to jedyna możliwość?
To znaczy czy istnieje w-trójkąt o dwóch w-bokach tej samej długości, który zbudowany jest z monet o różnych promieniach?

Nie, nie ma takiego w-trójkąta.
Na poniższym rysunku widać dwa łuki AC i BC o jednakowej długości (sprawdź).
Nie są to w-boki w-trójkąta, bowiem środek trzeciej monety musiałby leżeć w punkcie C'', przecięciu prostych B'A i A'B (prostopadłych do łuków AC i BC). Punkt ten nie jest jednak równoodległy od A i B.
(Znam tylko uzasadnienie, odwołujące się do własności funkcji trygonometrycznych. Może ktoś z Czytelników znajdzie prosty dowód?)

Widać, że w-trójkąty mają wiele wspólnego ze zwykłymi trójkątami, jednak nie wszystko. Na przykład dla trójkątów zachodzi nierówność trójkąta, a dla w-trójkątów - nie. Patrz:

Poniżej przedstawiamy konstrukcję monet, to znaczy pokazujemy, jak wykreślać w-boki, mając zadane wierzchołki w-trójkąta.

Uwaga.  Dorysuj jeszcze okrąg o środku Ś, przechodzący przez punkt A. Jakie własności ma ten okrąg?

Z pomocą trygonometrii można wyznaczać własności miarowe w-trójkątów. Ciekawsze wydają się jednak poniższe zagadnienia.

ZADANIE 1  
Czy każde trzy różne punkty są wierzchołkami pewnego w-trójkąta?

ZADANIE 1'  
Czy istnieją takie trzy różne punkty, które są wierzchołkami dokładnie jednego w-trójkąta?

ZADANIE 2  
Czy istnieje taki w-trójkąt, w którym suma długości dwóch w-boków jest mniejsza od długości trzeciego w-boku?

ZADANIE 3  
Ułóż zadanie dotyczące własności widocznej na poniższym rysunku.

ZADANIE 4  
Czy każde cztery różne punkty są wierzchołkami pewnego w-czworokąta?

ZADANIE 5  
Ułóż zadanie dotyczące własności widocznej na poniższym rysunku.