Klina klinem

Naśladując pewne rozumowanie Archimedesa, pokażemy jak można w sposób elementarny obliczyć pole powierzchni i objętość klina wyciętego z walca.

Klin wycinamy z walca (o promieniu podstawy R i wysokości H) płaszczyzną przechodzącą przez średnicę AB podstawy oraz przez punkt D drugiej podstawy, leżący najdalej od tej średnicy.

Taki klin ma trzy niby-ściany. Niech nazywają się one:
  - podstawa, ściana będącą połową podstawy walca,
  - skos, ściana zawarta w płaszczyźnie tnącej,
  - kora, ściana będąca częścią powierzchni bocznej walca.
Dwie pierwsze są płaskie. Kora może być rozprostowana, jak powierzchnia boczna walca.

Na początek obliczymy pole powierzchni kory (to jest najtrudniejsze i najciekawsze).
Można sobie wyobrazić, że powierzchnię kory przybliżamy płotem zbudowanym z wielu sztachet. Pole kory jest wtedy przybliżane przez łączne pole sztachet.

Przyjrzyjmy się dokładniej jednej z tych sztachet.
Jest to trapez KLMN, przylegający do kory wzdłuż odcinka PQ,
gdzie PQ jest równoległy do podstaw KN i LM oraz leży w połowie wysokości trapeu.
Zauważmy, że pole trapezu KLMN jest równe KL ^. PQ (dlaczego?).

Wyobraźmy sobie 'oświetlenie': długą jarzeniówkę ułożoną wzdłuż średnicy AB i ekran ustawiony za klinem prostopadle do podstawy i równolegle do AB.
'Cień' (rzut) sztachety KLMN na ekranie jest prostokątem K'L'M'N' o wysokości L'M' = H.
'Cień' (rzut) wszystkich sztachet (kory) jest prostokątem o wymiarach 2R × H.

Teraz najważniejsze: pole KLMN = pole K'L'M'N'.
Aby to zobaczyć, wystarczy skorzystać z podobieństwa trójkątów (zauważ przede wszystkim, że trójkąt ZPL jest podobny do trójkąta O'PO).

Zatem pole powierzchni kory jest równe polu jej 'cienia' (rzutu).
Zaskakujące, że w tym wzorze nie ma liczby , choć jest to przecież pole fragmentu powierzchni bocznej walca.

Obliczymy teraz objętość klina.
 
Najpierw utworzymy mały klinek, czyli ostrosłup o podstawie będącej sztachetą KLMN i wierzchołku O. Ma on wysokość R (dla każdej sztachety).

Cały klin jest przybliżany przez kolekcję wszystkich takich klinków, więc jego objętość jest (niemal) równa sumie objętości wszystkich klinków.

Gdy sztachet jest coraz więcej (są coraz węższe), to przybliżenie jest coraz lepsze, stąd finalny wzór.

Ciekawostka

Na zakończenie zobaczmy, jak można łatwo obliczyć pole skosu.
Jest jasne, że można je przybliżać (dowolnie dokładnie) sumą pól prostokątów, których jeden bok jest równoległy do AB.

Uwaga.  Nie wszystko w klinie tak prosto można obliczyć. Na przykład wiadomo, wspólna krawędź skosu i kory, czyli łuk ADB, ma długość, której nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych (czyli właściwie wszystkich poznawanych w szkole i ich złożeń) zmiennych R i H. Czyż to nie jest zaskakujące?

Masz niedosyt? Zapraszamy do lektury tekstu Klin ze stożka.