Kłopoty z... ryżem

Data ostatniej modyfikacji:
2012-07-24
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Do rysunków 3D w niebieskich ramkach
użyto apletu www.javaview.de/
Można w nich manipulować myszą.


 

 

Oto zapis lekcji, która mogłaby się zdarzyć.

 


 

Wczoraj poznaliście wzór na objętość ostrosłupa o podstawie o polu p i wysokości H

V = 1/3 p H .
Wykonywaliście doświadczenia, przesypując ryż. Napełnialiście ryżem model ostrosłupa i przesypywaliście do modelu odpowiedniego graniastosłupa (o tej samej podstawie i wysokości).

W każdej z grup okazało się, że trzykrotne przesypywanie z ostrosłupa do graniastosłupa nie napełnia go ryżem po brzegi. W modelu graniastosłupa zostawało zawsze jeszcze trochę miejsca. Dlaczego? Czy wzór nie jest dokładny?

 


Kadry z filmu z portalu YouTube

 

Zbadamy, dlaczego doświadczenia nie potwierdzają ogólnego wzoru.
Zbadamy, jaki wpływ na wynik mają niedokładności eksperymentu.

Obliczcie, ile ryżu nasypaliście do modelu ostrosłupa. Jaka to część objętości graniastosłupa?
Obliczcie też, ile takich porcji ryżu mieści się w graniastosłupie (ile razy trzeba przesypywać).

 

 
 
Grupa A

Ostrosłup o wysokości H = 10 cm
i o krawędzi podstawy a = 10 cm
wypełniono do wysokości 9 cm
(czyli o 1 cm za nisko).
Jaką część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości wypełni ten ryż?

 

 
 
Grupa B

Ostrosłup o wysokości H = 10 cm
i o krawędzi podstawy a = 10 cm
wypełniono do wysokości 9 cm, jak w gr. A,
a potem jeszcze usypano piramidę do wysokości 10 cm.
Jaką część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości wypełni ten ryż?

 

 
 
Grupa C

Ostrosłup o wysokości H = 10 cm
i o krawędzi podstawy a = 10 cm
wypełniono do wysokości 9 cm, jak w gr. A,
a potem jeszcze usypywano piramidę o 1cm wystającą ponad podstawę.
Jaką część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości wypełni ten ryż?

 

 
 
Grupa A'

Ostrosłup o wysokości H = 10 cm
i o krawędzi podstawy a = 20 cm
wypełniono do wysokości 9 cm
(czyli o 1 cm za nisko).
Jaką część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości wypełni ten ryż?

 

 
 
Grupa B'

Ostrosłup o wysokości H = 10 cm
i o krawędzi podstawy a = 20 cm
wypełniono do wysokości 9 cm, jak w gr. B,
a potem jeszcze usypywano piramidę do wysokości 10 cm.
Jaką część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości wypełni ten ryż?

 


 

A czy grubość ścianek modelu ostrosłupa i graniastosłupa ma duży wpływ na wynik doświadczenia?

Zbadajmy i to.
Modele ostrosłupa o wysokości H = 10 cm, o podstawie kwadratowej o boku a = 20 cm i graniastosłupa o wysokości H = 10 cm, o podstawie kwadratowej o boku a = 20 cm, wykonane są z plastiku o grubości g = 0,3 cm, przy czym podane wymiary są wymiarami zewnętrznymi (zielonymi). Jaki jest stosunek pojemności modelu ostrosłupa do graniastosłupa?

 

 

 



 

Wniosek. Doświadczenie to nie matematyka. Obserwacja może podsuwać hipotezy, ale dopiero dedukcyjne rozumowanie pozwala te hipotezy uzasadnić. Jak zatem 'uzasadnić' obecność 1/3 we wzorze na objętość ostrosłupa?

Powrót na górę strony