Kula w szkielecie

Poniżej widać cztery szkielety graniastosłupów z kulami, które opierają się na zielonych krawędziach (są do nich styczne).
W pierwszym i czwartym przypadku kule opierają się na wszystkich krawędziach, w tym także na krawędziach podstawy.
W drugim i trzecim przypadku tak nie jest. Dla tych graniastosłupów nie istnieją kule oparte na całych szkieletach.

Oczywiście w sześcianie o krawędzi a kula, o środku w środku sześcianu i promieniu . . . . . . . . , opiera się na szkielecie, tzn. jest styczna do wszystkich krawędzi.

Zadanie 1 
Wyznacz wysokość H graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o krawędzi podstawy a, w którym kula jest oparta na szkielecie, tzn. jest styczna do wszystkich krawędzi.

Zadanie 2 
Wyznacz wysokość H graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, o krawędzi podstawy a, w którym kula jest oparta na szkielecie, tzn. jest styczna do wszystkich krawędzi.

Zadanie 3. (z trygonometrią w tle) 
Wyznacz wysokość H graniastosłupa prawidłowego n-kątnego, o krawędzi podstawy a, w którym kula jest oparta na szkielecie. Wyznacz jej promień.

Dla każdego ostrosłupa prawidłowego można znaleźć kulę opartą na całym szkielecie, tzn. styczną do każdej krawędzi.

W przypadku ogólnym znalezienie promienia takiej kuli jest dość uciążliwe. Pominiemy to.

Okazuje się, że istnieją ostrosłupy prawidłowe, w których kule styczne do wszystkich krawędzi nie są blokowane przez szkielet ostrosłupa i mogą z niego 'wypaść'. Tak jest na przykład wtedy, gdy środek kuli leży na podstawie ostrosłupa, czyli gdy na podstawie leży równik kuli.

Zadanie 4
Wyznacz wysokość H ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o krawędzi podstawy a, z kulą o środku na podstawie, styczną do wszystkich krawędzi.

Zadanie 5
Wyznacz wysokość H ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o krawędzi podstawy a, z kulą o środku na podstawie, styczną do wszystkich krawędzi.

Zadanie 6
Wyznacz wysokość H ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, o krawędzi podstawy a, z kulą o środku na podstawie, styczną do wszystkich krawędzi.

Zadanie 7. (z trygonometrią w tle)
Wyznacz wysokość H ostrosłupa prawidłowego n-kątnego, o krawędzi podstawy a, z kulą o środku na podstawie, styczną do wszystkich krawędzi.

W ostrosłupie prawidłowym środek kuli stycznej do wszystkich krawędzi może także leżeć poza ostrosłupem. Zobacz.

Wiadomo, że:

  - w każdy trójkąt można wpisać koło (koło to jest styczne do wszystkich boków),

  - na każdym trójkącie można opisać okrąg (okrąg ten przechodzi przez wszystkie wierzchołki),

  - w każdy czworościan można wpisać kulę (kula ta jest styczna do każdej ściany),

  - na każdym czworościanie można opisać sferę (sfera ta przechodzi przez wszystkie wierzchołki).

 
Naturalne jest zatem pytanie:

Czy dla każdego czworościanu istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi,
czyli oparta na szkielecie tego czworościanu?

 
To zaskakujące, ale odpowiedź jest negatywna.
Jak to zobaczyć? Jak zobaczyć coś, czego nie ma?

Zauważmy najpierw, że zachodzi ogólne twierdzenie.

Twierdzenie 1
Jeśli kula jest styczna do wszystkich krawędzi wielościanu, to przecina każdą ścianę tego wielościanu wzdłuż koła wpisanego w tę ścianę.

Wniosek 1
Jeśli kula jest styczna do wszystkich krawędzi wielościanu, to punkty styczności tej kuli z krawędziami są punktami styczności kół wpisnych w poszczególne ściany z bokami tych ścian.

Wniosek 2
Jeśli kula jest styczna do każdej wszystkich wielościanu, to w każdą ścianę można wpisać koło.

Wniosek 3
Jeśli koła wpisane w pewne dwie sąsiednie ściany wielościnu (tzn. ściany o wspólnej krawędzi) nie spotykają się na krawędzi (czyli nie mają punktów wspólnych), to nie istnieje kula styczna do wszystkich krawędzi tego wielościanu.

Zobacz, że tak właśnie jest w poniższym czworościanie.