W przestrzeni "widać gorzej". Większość z nas ma po prostu wyobraźnię płaską. A przecież żyjemy w świecie trójwymiarowym. Szkolne zadania "na dowodzenie" w przestrzeni bywają sztuczne, a mogłyby być bardziej naturalne. Mogłyby wyjaśniać związki, które na płaskim rysunku trudno dostrzec. Dlaczego geometria szkolna unika takich tematów?
(Wcześniej koniecznie przeczytaj tekst Kąt pomiędzy skośnymi prostymi.)
Nauczyciele z praktyką wiedzą, że niektóre rozumowania w geometrii bywają kłopotliwe, a nawet 'niebezpieczne'.
Dotyczy to na przykład tych, które 'ocierają się' o aksjomaty.
Szkolna geometria obecnie nie wyjaśnia, czym są aksjomaty (tu też nie będziemy tego czynić). W geometrii płaszczyzny takie problemy 'zamiatamy pod dywan'. Na przykład pytanie nauczyciela
dlaczego AB || CD? uczeń traktuje jako dziwactwo przynależne tej godzinie lekcyjnej, ponieważ z rysunku dobrze widać, że tak jest. Zadania egzaminacyjne (na szczęście?) także rzadko dotykają takich problemów, więc przymykamy na to oko.
W geometrii przestrzeni "gorzej widać", z zatem często przydałyby się konkretne argumenty. Program szkolny omija tego typu zagadnienia. Chyba słusznie. Zobaczmy dlaczego, na podstawie
rozwiązania poniższych dwóch zadań.
Zadanie 1.
Czy dowolny czworościan można tak przeciąć (płaszczyzną), że przekrojem jest kwadrat?
Zadanie 1a.
Jeśli czworościan można tak przeciąć, że przekrojem jest kwadrat, to na ile sposobów można to zrobić?
Założenie
Będziemy rozważać tylko takie cięcia wielościanu, że płaszczyzna cięcia nie zawiera żadnego z wierzchołków wielościanu. Nie zmieni to odpowiedzi na powyższe pytania
(dlaczego?), a nieco ułatwi rozważania.
Obserwacja 1
Jeśli płaszczyzna przecina ścianę wielościanu wypukłego, to część wspólna jest odcinkiem o końcach na dwóch bokach tej ściany.
Obserwacja 1'
Jeśli przekrojem czworościanu jest czworokąt, to przecina on wszystkie cztery ściany czworościanu, a wierzchołki tego czworokąta leżą na czterech z sześciu krawędzi czworościanu.
Obserwacja 2
Jeśli przekrojem czworościanu jest czworokąt, to nie przecina on
dwóch krawędzi skośnych (nie mających wspólnego wierzchołka).
Dowód. Gdyby płaszczyzna cięcia nie przecinała dwóch krawędzi o wspólnym wierzchołku, np. AB i AC, to nie przecinałaby i trzeciej krawędzi BC (na podstawie Obserwacji 1), więc nie przecinałaby tej ściany, co przeczy Obserwacji 1'.
Dalsze rozważania będziemy prowadzić przy następujących oznaczeniach:
Czworościan ABCD jest przecięty płaszczyzną P tak, że przekrojem jest czworokąt KLMN, który nie przecina krawędzi AB i CD oraz :
wierzchołek K leży na krawędzi AC,
wierzchołek L leży na krawędzi BC,
wierzchołek M leży na krawędzi BD,
wierzchołek N leży na krawędzi AD.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty K, L, M.
Obserwacja 3
Jeśli prosta AB przecina płaszczyznę P (w punkcie E), to proste KL i MN przecinają się (w E).
Dowód.
Na płaszczyźnie ABC leżą punkty K, L (to oczywiste) oraz punkt E (bo leży na prostej AB zawartej w tej płaszczyźnie). Przecięcie płaszczyzn P i ABC jest pewną prostą. Punkty K, L, E leżą na tym przecięciu, więc to przecięcie jest prostą KL. Zatem punkt E leży na prostej KL.
Analogicznie w przecięciu płaszczyzn P i ABD leżą punkty M, N, E, zatem E leży na prostej MN.
Stąd mamy, że proste KL i MN przecinają się w punkcie E.
Obserwacja 3'
Jeśli prosta AB nie przecina płaszczyzny P,
to KL || AB , MN || AB oraz KL || MN.
Dowód.
Proste AB i KL leżą w jednej płaszczyźnie (w płaszczyźnie ABC) i nie mają punktów wspólnych (bo KL leży na P), zatem są równoległe.
Analogicznie proste AB i MN są równoległe.
Gdyby proste: KL i MN miały punkt wspólny, to leżałby on na płaszczyźnie P i w przecięciu płaszczyzn, w których one leżą, czyli w przecięciu płaszczyzn ABC i ABD, czyli na prostej AB, co przeczy założeniu.
Stąd proste KL i MN leżą w jednej płaszczyźnie (P) i nie mają punktów wspólnych, zatem są równoległe.
Uwaga
Dla trzech prostych x, y, z leżących na płaszczyźnie jest prawdą, że
Nieco inne uzasadnienie można uzyskać, stosując stwierdzenie
Z powyższych obserwacji wypływają następujące wnioski.
Wniosek 4
Jeśli KL || AB, to KL || MN.
Wniosek 5
KL || MN wtedy i tylko wtedy, gdy
prosta AB nie przecina płaszczyzny P.
Wniosek 6
KLMN jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy
proste AB i CD nie przecinają płaszczyzny P.
Wniosek 5'
Czworokątny (płaski) przekrój czworościanu jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna czworokąta nie przecina przedłużenia żadnej z krawędzi czworościanu.
Wniosek 6'
Czworokątny przekrój czworościanu jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna czworokąta nie przecina przedłużeń dwóch krawędzi czworościanu.
Obserwacja 7
Jeśli dwie równoległe płaszczyzny P i P' mają w przecięciu z czworościanem ABCD czworokątne przekroje KLMN i K'L'M'N', gdzie pary K, K', L, L', M, M' i N, N' leżą na tych samych krawędziach, to
Dowód
Proste KL i K'L' oczywiście nie przecinają się i leżą w jednej płaszczyźnie (ABC), więc są równoległe. Podobnie jest dla pozostałych par prostych.
Nierówności wynikają z równoległości (patrz na poszczególne ściany).
Ostatnia teza wynika z Wniosku 6.
Wniosek 8
Jeśli dwie płaszczyzny P i P' nie przecinają krawędzi AB ani CD, to ich przekroje KLMN i K'L'M'N' z czworościanem są równoległobokami o jednakowych kątach.
Co więcej kąt (nierozwarty) w tych równoległobokach jest taki, jak kąt, który tworzą proste AB i CD.
Obserwacja 9
Jeśli KLMN jest równoległobokiem, to istnieje dokładnie jedna płaszczyzna P' równoległa do płaszczyzny P taka, że jej przekrój K'L'M'N' z czworościanem jest rombem.
Dowód
Jeśli P' leży blisko AB, to K'L' ma długość prawie równą AB, a L'M' prawie zero.
Jeśli P' leży blisko C, to K'L' ma długość prawie równą 0, a L'M' prawie równą CD.
Zatem gdy zmieniamy P' w sposób ciągły od jednej pozycji do drugiej, długość K'L' maleje, a L'M' rośnie. 'Gdzieś po drodze' dostaniemy równość długości K'L' i L'M'.
Inne uzasadnienie. Wykorzystując podobieństwo trójkątów, nietrudno sprawdzamy, że teza zachodzi, gdy K'C/AC = AB / (AB + CD).
Rysunek utworzony za pomocą apletu www.javaview.de/
Można na nim manipulować myszą.
Wniosek 10
Każdy czworościan można przeciąć na dokładnie trzy sposoby tak, by przekrojem był romb.
Wniosek 11
Prostokątny przekrój czworościanu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w czworościanie jest para krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90o.
Wniosek 12
Kwadratowy przekrój czworościanu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w czworościanie jest para krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90o.
Wniosek 12'
Liczba kwadratowych przekrojów czworościanu jest równa
liczbie par jego krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90o.
Aby otrzymać odpowiedź do zadania 1', potrzebna jest jeszcze jedna obserwacja. Inaczej niż poprzednio, do jej dowodu użyjemy języka wektorów. Poniższy bardzo krótki rachunkowy dowód stanowi swoistą reklamę wektorów, jako narzędzia w geometrii. (Trzeba jednak pamiętać, że pomijamy tu uzasadnienia faktów, na których oparte są poniższe rachunki.)
Powiemy, że czworościan ABCD jest rozpięty przez wektory
,
,
, gdy są one zaczepione w jednym punkcie (np. A) i mają końce w pozostałych wierzchołkach czworościanu
(np.
ma koniec w B,
ma koniec w C,
ma koniec w D).
W języku wektorów prosta AB tworzy z prostą CD kąt 90o, gdy
( -
) = 0.
Obserwacja 13
Gdy czworościan ma dwie pary krawędzi skośnych tworzące kąty równe 90o, to trzecia para krawędzi skośnych też tworzy kąt 90o.
Dowód
Niech czworościan będzie rozpięty przez wektory
,
,
.
Założenie można zapisać jako układ dwóch warunków:
( -
) = 0,
( -
) = 0.
( -
) +
( -
) =
-
+
-
=
-
=
(
- )
- )
= 0,
Wniosek 14
Liczba kwadratowych przekrojów czworościanu jest równa
liczbie par jego krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90o, czyli 0, 1 albo 3.
Na 'deser' proponujemy zadanie rachunkowe.
Zadanie 2. Wyznacz pola kwadratowych przekrojów czworościanu
a) o wierzchołkach: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
b) o wierzchołkach: (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 5),
c) foremnego o krawędzi długości 1,
d) o wierzchołkach: (-6, 0, 0), (6, 0, 0), (0, -2, 1), (0, 2, 1).
