Odcinek figur

Dynamiczne rysunki w tekście zrobiono w Geogebrze

 

W artykule Środki par zbiorów można zobaczyć, jak tworzyć zbiór środkowy dla danych dwóch figur A i B, czyli zbiór środków odcinków łączących te figury. Leży on pomiędzy A i B. Tym razem utworzymy całą kolekcję zbiorów płynnie przechodzących od figury A do figury B, czyli tzw. odcinek figur.

 

---

 

Zapis  (1 - t) ^. P + t ^. Q  ma w tym tekście (jak i w matematyce wyższej) wiele znaczeń.

 

Określenie 1.   Gdy P i Q są liczbami, a t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) ^. P + t ^. Q określa liczbę Z taką, że leży ona pomiędzy liczbami P i Q oraz  | Z - P | = t ^. | Q - P|.
 
Równość  (1 - t) ^. P + t ^. Q = P + t ^. ( Q - P )  można bowiem zinterpretować następująco: 'idź do P, a potem jeszcze przejdź część t odległości Q - P'. Zatem napis (1 - t) ^. P + t ^. Q ,   t [0, 1] opisuje cały przedział osi liczbowej o końcach P, Q.

 

Określenie 2.   Gdy P i Q są punktami płaszczyzny, a t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) ^. P + t ^. Q określa punkt Z taki, że leży on na odcinku PQ oraz  | ZP | = t ^. | QP|.
 
Wtedy w układzie współrzędnych dla P(a, c), Q(b, d) i Z(x, y), mamy x  =  (1 - t) ^. a + t ^. b ,
y  =  (1 - t) ^. c + t ^. d . W tym przypadku napis (1 - t) ^. P + t ^. Q ,   t [0, 1] opisuje cały odcinek PQ.
Gdy t zmienia się od 0 do 1, to punkt (1 - t) ^. P + t ^. Q przebiega cały odcinek.
Ilustruje to poniższy rysunek (kliknij przycisk w lewym dolnym rogu).

 

 

Określenie 3.   Gdy A i B są figurami płaskimi, a t jest ustaloną liczbą pomiędzy 0 i 1, to

(1 - t) ^. A + t ^. B określa zbiór wszystkich punktów  (1 - t) ^. P + t ^. Q ,  gdzie punkt P jest z A i Q jest z B.
 
Oczywiście:
    dla t = 0, mamy   (1 - 0) ^. A + 0 ^. B  =  A,   bo 1^.P + 0^.Q = P i P przebiega całe A,
    dla t = 1, mamy   (1 - 1) ^. A + 1 ^. B  =  B,   bo 0^.P + 1^.Q = Q i Q przebiega całe B,
    dla t = , mamy   (1 - ) ^. A + ^. B  =  A + B  =  S_A,B , czyli środek zbiorów A, B,
      o czym pisaliśmy już w tekście Środki par zbiorów.

Na poniższym rysunku zobaczysz figury (1 - t) ^. A + t ^. B dla wypukłych wielokątów A i B.
Składają się ze zmniejszonych kopii figury A (w skali 1-t) i figury B (w skali t).

 

 

Określenie 3'.   Gdy A i B są figurami płaskimi, to odcinkiem AB nazywamy kolekcję figur

(1 - t) ^. A + t ^. B ,   t [0, 1] .

Na poprzednim rysunku zobaczysz odcinki AB (tzn. kolekcje figur), gdy zmieniać będziesz t (kliknij przycisk w lewym dolnym rogu).

 

---

 

Trudniej jest zobaczyć odcinek

(1 - t) ^. A + t ^. B ,   t [0, 1] , gdy jego końce, czyli figury A i B nie są wypukłe, np. gdy A = A₁A₂A₃A₄ i B = B₁B₂B₃B₄B₅ są zamkniętymi łamanymi.
Choć A i B mają pole 0, to figury odcinka AB różne od końców, mają (zazwyczaj) pole > 0.
Niektóre z nich (dla pewnych t) są 'dziurawe', a inne nie. Ilustruje to poniższy rysunek.
Można zacząć od prostszych przykładów, jedną z łamanych zamieniając na odcinek.

 

 

---

 

Gdy A jest łamaną, a B jest kołem, odcinek AB, czyli kolekcja

(1 - t) ^. A + t ^. B ,   t [0, 1] , wygląda jak zbiór 'pogrubionych' łamanych.
Układając łamaną w kształt brzegu trójkąta lub prostokąta, zobaczysz, że odcinki AB wyglądają wtedy stosunkowo prosto.

 

 

---

---

 

Dla figur A i B odcinek AB, czyli kolekcja figur

(1 - t) ^. A + t ^. B ,   t [0, 1] , stanowi płynne (ciągłe) przejście od figury A do B. To znaczy, że przy małej zmianie parametru t, mało zmieniają się figury (1 - t) ^. A + t ^. B. Istnieją sposoby mierzenia zmienności figur i odległości między figurami - tu jednak nie będziemy tego precyzować.
To, o czym była tu mowa, może być przydatne przy tworzeniu... filmów animowanych.
Dawniej, by w takich filmach uzyskać wrażenie ruchu, tworzono kadry - wiele rysunków na każdą sekundę filmu. Na poszczególnych rysunkach stopniowo Lolek podnosił rękę albo Reksio merdał ogonem. Odcinek AB automatyzuje 'płynne przejście' od A - Bolka zdrowego, z kwadratową głową, do B - Bolka spuchniętego, z głową okrągłą (tylko nieco bardziej skomplikowanie niż na powyższym rysunku).
Teraz z łatwością robią to komputery. Nie tylko w filmach animowanych.
Można sobie wyobrażać, że tak może działać kompresja, czyli pakowanie filmu na dysk. Zapamiętuje się tylko niektóre fragmenty prawdziwego 24 klatkowego filmu (24 kadry na każdą sekundę filmu), a 'płynność' zapewnia odtwarzacz z programem podobnym do tych dynamicznych obrazków, które tu widzimy. W praktyce pakowanie filmu jest dużo bardziej skomplikowane, ale pojęcie odcinka pomiędzy figurami tłumaczy, że to jest możliwe.

 

---

---

 

Zamiast twierdzeń opisujących własności odcinka między figurami proponuję trzy zadania, z których najistotniejsze jest zad. 3. W nim ukryte są owe twierdzenia.
Zadania 1 i 2 pozwolą przyjrzeć się bliżej przykładom odcinków figur. 
Kolejne podpunkty zadań 1 i 2 są coraz trudniejsze. Można więc opuszczać początkowe, gdy wydają Ci się za łatwe. Wystarczy poprawnie rozwiązać zadania 1n) i 2j). Gdy jednak masz z nimi kłopot, poprzednie podpunkty mogą stanowić wskazówki.

 

Zadanie 1.  Opisz figury  (1 - t) ^. A + t ^. B,  dla t = ,  dla t = ,  dla t =  (albo ogólnie, dla dowolnego t, 0 < t < 1), to znaczy opisz ich kształty oraz podaj obwody i pola,
gdy A i B są takie, jak na rysunku. Przyjmij, że kratka ma wymiary 1×1.

 

 

Zadanie 2.  Podaj obwody i pola figur  (1 - t) ^. A + t ^. B,  dla t = ,  dla t = ,  dla t =  (albo ogólnie, dla dowolnego t, 0 < t < 1), gdy A i B są takie, jak na rysunku. Przyjmij, że kratka ma wymiary 1×1.

 

Zadanie 3.  Odpowiedz na poniższe ogólne pytania. Precyzyjnie uzasadnij odpowiedź 'nie'.

a)  Czy jeśli figury A i B są przystające, to każda figura odcinka AB przystaje do A?

b)  Czy jeśli figury A i B są przystające, to każde dwie figury odcinka AB różne od końców A, B są przystające?

c)  Czy jeśli figury A i B są podobne, to każda figura odcinka AB jest podobna do A?

d)  Czy jeśli figury A i B są podobne, to każde dwie figury odcinka AB różne od końców A, B są podobne?

e)  Czy jeśli figura B jest przesunięciem figury A, to każda figura odcinka AB przystaje do A?

f)  Czy jeśli figury A i B są jednokładne, to każde dwie figury odcinka AB są jednokładne?

g)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami, to

Obwód _{(1 - t) A + t B}  =  (1 - t) ^. Obwód_A + t ^. Obwód_B?

h)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami wypukłymi, to

Obwód _{(1 - t) A + t B}  =  (1 - t) ^. Obwód_A + t ^. Obwód_B?

i)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami wypukłymi, to

Pole _{(1 - t) A + t B}  =  (1 - t) ^. Pole_A + t ^. Pole_B?

j)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami wypukłymi, to

Pole _{(1 - t) A + t B}  =  (1 - t)^{2 .} Pole_A + t^{2 .} Pole_B?

k)  Czy jeśli A i B są odcinkami, to każda figura odcinka AB różna od końców A, B, ma dodatnie pole?

l)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami, a C jest figurą odcinka AB, to każda figura odcinka AC jest figurą odcinka AB?

m)  Czy jeśli figury A i B są wielokątami wypukłymi, a C jest figurą odcinka AB, to każda figura odcinka AC jest figurą odcinka AB?

Odpowiedzi do zadania 3:  e), f), h) m) - TAK, pozostałe - NIE.  

 

---

---

 

Warto przeczytać inne teksty o podobnej tematyce:
   - Środki par zbiorów
   - Środki zbiorów liczb
   - Odcinek z funkcji
   - Środki figur płaskich

 

---

---

---