Równoległościan? Może tak, może nie...

Data ostatniej modyfikacji:
2009-05-15
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
geometria przestrzenna
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa

Ktoś powiedział: 'Wątpić jest rzeczą ludzką', ktoś inny - 'Nic, w co wątpię, nie jest mi obce'. Jeszcze inni mawiali: 'Wątpiący wszystkich krajów - łączcie się!'. A może coś pokręciłem? Wątpię. Spróbuj i Ty!

Jest takie piękne twierdzenie (piękne nie tylko dlatego, że się rymuje):

TWIERDZENIE 1.   Środki boków czworoboku są wierzchołkami równoległoboku.

UWAGA. Wszystkie rysunki w tekście są dynamiczne. Można przesuwać dowolne punkty zaznaczone pełnym kwadracikiem (chwytając je lewym przyciskiem myszy). Po chwili rysunek się zaktualizuje.

 

Dowód.  Dorysuj odcinek łączący (jakieś) niesąsiednie czarne wierzchołki i...
Dwa odcinki czerwone są równoległe do tego dorysowanego (dlaczego?);
więc i do siebie nawzajem.

Pozostałe dwa czerwone

 

Ten sam (niemal) dowód ma twierdzenie:

TWIERDZENIE 1a.    Odcinki łączące środki przeciwległych boków czworoboku połowią się nawzajem.

 

Tak jest dlatego, że równoległobok to czworobok, w którym są dwie pary boków równoległych, albo równoważnie, że to czworobok, w którym przekątne połowią się nawzajem.

Ten sam dowód ma też twierdzenie:

TWIERDZENIE 2. W czworościanie wybierzmy dowolne dwie pary krawędzi skośnych. Środki tych krawędzi są wierzchołkami równoległoboku.

 

Nie trzeba nowego dowodu, wystarczy pomyśleć o rysunku, że jest przestrzenny, że czarne linie są krawędziami czworościanu i powtórzyć słowo w słowo poprzedni dowód (sprawdź!).

Poniższe stwierdzenie powstało z zamiany pewnych słów w sformułowaniu twierdzenia 1.

STWIERDZENIE 3.   Środki krawędzi czworościanu są wierzchołkami równoległościanu.

 

Czy to stwierdzenie jest prawdziwe? Może TAK, może NIE?

Może TAK, bo widać, że te środki wyznaczają bryłę, w której ściany są parami równoległe, analogicznie do boków równoległoboku.

 

Oj to niedobry argument; w sześciokącie foremnym boki też są parami równoległe, a nie nazywamy go równoległobokiem (a właściwie dlaczego?).

Zatem raczej NIE, bo widać, że ta bryła ma sześć wierzchołków, a równoległościan ma wierzchołków osiem.

Oj, to niedobry argument, bo przecież w powyższym stwierdzeniu 3. nie ma mowy o tym, że to mają być wszystkie wierzchołki równoległościanu. Może da się dobrać jakieś dwa punkty, aby razem z tymi sześcioma dawały wszystkie wierzchołki równoległościanu?

Zatem pewnie TAK, gdy znajdziemy takie punkty.

Aby lepiej to zobaczyć, przesuń czarne punkty tak, by utworzyć czworościan odcięty z naroża sześcianu.

 

I TAK, i NIE? No to jak w końcu jest? TAK, czy NIE? Czy stwierdzenie 3. jest twierdzeniem?

Masz dalej wątpliwości? To dobrze. Ktoś powiedział: 'nauka, to wątpienie'.

 


 

Zamiast dalej roztrząsać powstałe wątpiwości, przyglądnijmy się ciekawej bryle, która nam się tu wyłoniła - czerwonemu wielościanowi W wyciętemu z czworościanu C :

 

 

Zadanie 0.  Wielościan W ma: ścian, wierzchołków i krawędzi.

Zadanie 1.  Łączna długość krawędzi wielościanu W jest łącznej długości krawędzi czworościanu C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 2.  Pole powierzchni W jest pola powierzchni C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 3.  Objętość W jest objętości C. Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 4.  Uzasadnij, że przekątne W przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 5.  Uzasadnij, że punkt przecięcia przekątnych W połowi każdą z nich.

Zadanie 6*.   Czy wielościan W jest środkowosymetryczny? A czy jest osiowosymetryczny?

Zadanie 7*.   Niech czworościan C ma wszystkie krawędzi długości 1.
a) Oblicz promień sfery opisanej na wielościanie W.
b) Oblicz promień sfery wpisanej w wielościan W.

 


 

Na deser. Czy jest prawdziwe poniższe stwierdzenie?

STWIERZDENIE 4.   Środki ścian czworościanu są wierzchołkami równoległościanu.

Może też: 'I tak, i nie' ?

 

Powrót na górę strony