Serwetki

Przyjrzyjmy się najprostszym serwetkom wycinanym z wielokątów foremnych i z koła.
W podpunktach d* poniższych zadań trzeba użyć trygonometrii.

 

---

 

Rozważmy serwetki wycięte z n-kątów foremnych W_n, wpisanych w koło o promieniu R.
Zaokrąglamy brzeg wielokąta, tnąc wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do W_n,
przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.

 

 

Zadanie 1  
Wyznacz obwód, pole i promień okręgu opisanego serwetki w zależności od R, gdy:
  a)  n = 4        b)  n = 3        c)  n = 6        d*)  n jest dowolne

Zadanie 1'  
Wyznacz obwód, pole i promień okręgu opisanego serwetki w zależności od obwodu p wielokąta W_n, gdy:
  a)  n = 4        b)  n = 3        c)  n = 6        d*)  n jest dowolne

 

---

 

Rozważmy serwetki wycięte z koła K o promieniu R.
Tniemy wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do K, przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.

 

 

Zadanie 2  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
  a)  n = 4        b)  n = 3        c)  n = 6        d*)  n jest dowolne

Zadanie 2'  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od obwodu p koła K, gdy:
  a)  n = 4        b)  n = 3        c)  n = 6        d*)  n jest dowolne

 

Na poniższym rysunku widać jednocześnie oba poprzednio rozważane rodzaje serwetek.
Dla n = 6 wydaje się, że:
    - pokrywają się środki wycinanych łuków okręgów,
    - serwetka wycięta z koła pokrywa serwetkę wyciętą z wielokąta.
Czy to prawda?

 

 

Zadanie 3  
Wyznacz stosunek obwodów i stosunek pól obu rodzajów serwetek (w zależności R), gdy:
  a)  n = 4        b)  n = 3        c)  n = 6        d*)  n jest dowolne

 

---

 

Rozważmy serwetki wycięte z n-kątów foremnych W_n, wpisanych w koło o promieniu R.
Zaokrąglamy brzeg wielokąta, tnąc wzdłuż łuków jednakowych okręgów stycznych do W_n, przy czym sąsiednie łuki są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku.

 

 

Zadanie 4.4  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
  a)  n = 4, k = 2        b)  n = 4, k = 3        c)  n = 4, k = 4        d*)  n = 4, k jest dowolne

Zadanie 4.3  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
  a)  n = 3, k = 2        b)  n = 3, k = 3        c)  n = 3, k = 4        d*)  n = 3, k jest dowolne

Zadanie 4.6  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od promienia R koła K, gdy:
  a)  n = 6, k = 2        b)  n = 6, k = 3        c)  n = 6, k = 4        d*)  n, k są dowolne

Zadanie 4'  
Wyznacz obwód i pole serwetki w zależności od obwodu p koła K, gdy
  a)  n = 3, k = 2        b)  n = 4, k = 5        c)  n = 6, k = 4        d*)  n, k są dowolne

 

---

 

Rozważmy serwetki wycięte z koła K o promieniu R.
Brzeg serwetki tworzy n łuków okręgów stycznych do K. Sąsiednie łuki mają promienie r' i r'' i są styczne w punkcie styku, jak pokazano na rysunku (przesuwaj punkt S').

 

 

Zadanie 5  
Wyznacz r' i r'' w zależności od promienia R koła K, gdy r' = r'' i:
  a)  n = 4        b)  n = 6        d*)  n jest dowolne, parzyste

Zadanie 6  
Wyznacz r'' w zależności od promienia R koła K, gdy r' = R/2 i:
  a)  n = 4        b)  n = 6        d*)  n jest dowolne, parzyste

Zadanie 7  
Wyznacz r' i r'' w zależności od R, gdy okręgi co drugich większych łuków są styczne i:
  a)  n = 4        b)  n = 6        d*)  n jest dowolne, parzyste

Zadanie 8  
Wyznacz r'' w zależności od r' i R, gdy
  a)  n = 4        b)  n = 6        d*)  n jest dowolne, parzyste

Zadanie 9.d*  
Wyznacz r' i r'' w zależności od R, gdy r' = 2r'' i n jest dowolne, parzyste.

Zadanie 10.d*  
Wyznacz r' i r'' w zależności od R, gdy n = 6 oraz środki okręgów: dużego łuku i dwóch sąsiednich małych łuków, leżą na jednej prostej.

 

---

 

Uwaga  
W zadaniach 1d, 2d, 4d, gdy n jest 'bardzo duże' wyniki mało różnią się od liczb:

² R    oraz    R². Zaskoczeniem może być pierwsza z nich - przybliżenie obwodu serwetki.
Formalnie należałoby użyć twierdzeń o granicach ciągów. Ale można to też zobaczyć z pewnej postaci odpowiedzi do zadań 1'd, 2'd, 4'd.

 

---

---