się powtarza? Co się powtarza? Co...

Aby obliczyć rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{27}{74}$, wystarczy po prostu dzielić. Dostajemy 0,3648648... (można skorzystać z 'Maszynki do dzielenia' ).
Powtarza się okresowo 648, co notujemy, ujmując okres w nawias $\frac{27}{74}=0,3(648)$.

Licząc rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{100010}{900009}$, można mieć różne przemyślenia.
- 0,111; przy trzeciej jedynce: 'Tu musi być jakiś podstęp, to za łatwo, to nie mogą być chyba same jedynki.'
- 0,1111; przy czwartej jedynce napięcie wzrasta: 'A może jednak same jedynki?'
- 0,11112: 'No, wreszcie coś innego.'
- 0,111121: 'Zgaduję, że teraz będą jeszcze trzy jedynki.'
- 0,11112111: 'Na razie się zgadza.'
- 0,111121111: 'A nie mówiłem? Teraz będzie 2 i tak dalej, wkoło.'
- 0,1111211110: 'To już nic nie rozumiem.'
- 0,111121111011: 'Teraz będą pewnie jeszcze dwie jedynki.'
- 0,11112111101111: 'Czy teraz będzie 2 czy 0? Co zacznie się powtarzać?'
- 0,111121111011112: 'Zgaduję, że teraz będą cztery jedynki.'
- 0,1111211110111121111: 'Czy czeka mnie jeszcze jakaś niespodzianka? Czy to rozwinięcie jest naprawdę okresowe? Co zacznie się powtarzać?'
'???' Tu Karol przestał myśleć. Teraz zacznij Ty!

Cała trudność w zobaczeniu okresowości rozwinięć dziesiętnych ułamków polega na tym, że patrzymy... nie tam gdzie trzeba. Trzeba patrzeć nie na samo rozwinięcie, lecz na reszty, jakie otrzymujemy w trakcie rachunków. Popatrzmy na kilka przykładów. (Licz lub włącz 'maszynkę'.)

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{3098}{8325}$ dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{124}{231}$ dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{3577}{4125}$ dostajemy następujące reszty:

Przy rozwijaniu ułamka $\frac{578}{1975}$ dostajemy następujące reszty:

W pierwszych trzech przykładach reszty zaczęły się powtarzać. A w ostatnim - nie.

Zauważmy, że w ostatnim przykładzie - licząc dalej - musimy napotkać którąś z wcześniejszych reszt, bo możliwe reszty to liczby 0, 1, 2, ... , 1974, jest ich 1975, więc licząc 1776 razy (lub więcej) na pewno natkniemy się na dwie takie same.

Co więcej, jeśli natrafimy po raz pierwszy na którąś z wcześniejszych reszt, to od tego miejsca reszty zaczną się powtarzać, bowiem następną resztę obliczamy (pisemnie) wg tego samego algorytmu: 'spisujemy' zero, dzielimy, obliczamy różnicę.

Zatem gdy przy rozwijaniu ułamka $\frac{578}{1975}$ napotykamy po raz drugi 525 :

Zauważ, że tylko w przykładzie drugim $\frac{124}{231}$, reszty

W tym przykładzie, odmiennie niż w pozostałych, z danej reszty można obliczyć wcześniejszą, dana reszta determinuje poprzednią.
Dla ilustracji rozważmy resztę 184. Powstała z dzielenia 157^.10 przez 231, czyli

       157.10 = 6.231 + 184

         r.10 = c.231 + 184

   (157-r).10 = (6-c).231

Tak samo jak w powyższym przykładzie dowodzi się ogólnego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Niech mianownik q ułamka (nieskracalnego) $\frac{p}{q}$ nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się bezpośrednio po przecinku i ma długość mniejszą niż q.

Trochę trudniej dowodzi się twierdzenia:

Twierdzenie 2. Niech mianownik q ułamka nieskracalnego $\frac{p}{q}$ będzie postaci q = 2^{k .} 5^{n .} s, gdzie s nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się od m = 1 + max(k,n) miejsca po przecinku i ma długość mniejszą niż s.

Ideę dowodu prześledzimy na przykładzie:
$\frac{2583}{10200}$ najpierw skracamy ułamek (przez 3)
$=\frac{861}{3400}=$ (że jest on nieskracalny zobaczymy dalej)
$=\frac{861}{100\cdot 34}=$ teraz rozkładamy mianownik na czynniki
$=\frac{861}{100\cdot 2\cdot 17}=$
$ =\frac{861}{2^2\cdot 5^2\cdot 2\cdot 17}=\ $ (teraz widać, że jest nieskracalny, bo 861 nie dzieli się przez 2,5,17)
$=\frac{861}{2^3\cdot 5^2\cdot 17}=$
$ =\frac{1}{2^3\cdot 5^2}\cdot\frac{861}{17}=$
$ =\frac{1\cdot 5}{2^3\cdot 5^3}\cdot\frac{861}{17}=$
$=\frac{5}{1000}\cdot\frac{861}{17}=$
$=\frac{1}{1000}\cdot\frac{5\cdot 861}{17}$
'Prawy' czynnik powyższego iloczynu, to ułamek, który z tw. 1. ma rozwinięcie zaczynające się bezpośrednio po przecinku (i długości mniejszej niż 17).
Mnożenie przez $\frac{1}{1000}$, to przesuwanie przecinka o trzy miejsca, więc okres zaczyna się od czwartego miejsca po przecinku.

(tylko dla dorosłych)
Tak na prawdę z powyższego rozumowania widać tylko, że okres zaczyna się nie dalej niż od 4 miejsca. Dlaczego?