się powtarza? Co się powtarza? Co...

Data ostatniej modyfikacji:
2015-08-25
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
algorytmika
arytmetyka
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Aby obliczyć rozwinięcie dziesiętne ułamka , wystarczy po prostu dzielić. Dostajemy 0,3648648... (można skorzystać z 'Maszynki do dzielenia' ).
Powtarza się okresowo 648, co notujemy, ujmując okres w nawias .

Licząc rozwinięcie dziesiętne ułamka , można mieć różne przemyślenia.


Cała trudność w zobaczeniu okresowości rozwinięć dziesiętnych ułamków polega na tym, że patrzymy... nie tam gdzie trzeba. Trzeba patrzeć nie na samo rozwinięcie, lecz na reszty, jakie otrzymujemy w trakcie rachunków. Popatrzmy na kilka przykładów. (Licz lub włącz 'maszynkę'.)

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

3098, 6005, 1775, 1100, 2675, 1775, 1100, 2675, 1775, 1100, ...

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

124, 85, 157, 184, 223, 151, 124, 85, 157, 184, 223, ...

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

3577, 2770, 2950, 625, 2125, 625, 2125, 625, 2125, 625, ...

Przy rozwijaniu ułamka dostajemy następujące reszty:

578, 1830, 525, 1300, 1150, 1625, 450, 550, 1550, 1675, 950, 1600, ...

W pierwszych trzech przykładach reszty zaczęły się powtarzać. A w ostatnim - nie.

Zauważmy, że w ostatnim przykładzie - licząc dalej - musimy napotkać którąś z wcześniejszych reszt, bo możliwe reszty to liczby 0, 1, 2, ... , 1974, jest ich 1975, więc licząc 1776 razy (lub więcej) napewno natkniemy się na dwie takie same.

Co więcej, jeśli natrafimy po raz pierwszy na którąś z wcześniejszych reszt, to od tego miejsca reszty zaczną się powtarzać, bowiem następną resztę obliczamy (pisemnie) wg tego samego algorytmu: 'spisujemy' zero, dzielimy, obliczamy różnicę.

Zatem gdy przy rozwijaniu ułamka napotykamy po raz drugi 525 :

578, 1830, 525, 1300, 1150, 1625, 450, 550, 1550, 1675, 950, 1600, 200, 25, 250, 525,
to następna reszta będzie równa 1300. Co więcej, okres tego rozwinięcia ma tyle cyfr, co jeden cykl reszt, czyli 13. Zatem = 0,29(2658227848101).


Zauważ, że tylko w przykładzie drugim , reszty

124, 85, 157, 184, 223, 151, 124, 85, ...
zaczęły się powtarzać począwszy od samego początku, od pierwszej. Czy można to było przewidzieć?

W tym przykładzie, odmiennie niż w pozostałych, z danej reszty można obliczyć wcześniejszą, dana reszta determinuje poprzednią.
Dla ilustracji rozważmy resztę 184. Powstała z dzielenia 157.10 przez 231, czyli

       157.10 = 6.231 + 184
Przypuśćmy, że powstała też z dzielenia liczby r.10 przez 231, czyli że jest takie c, że
         r.10 = c.231 + 184
Odejmując stronami te dwa równania (i przekształcając), dostajemy:
   (157-r).10 = (6-c).231
W tym równaniu prawa strona jest podzielna przez 231, więc lewa też. Zauważmy, że 231 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5, zatem 231 musi dzielić różnicę (157-r). Ta różnica jest (co do wartości bezwzględnej) mniejsza od 231, więc musi być równa 0. To oznacza, że r=157, czyli reszta 184 determinuje wcześniejszą resztę.
Dla innych reszt jest tak samo: w tym przykładzie reszty wyznaczają wcześniejsze reszty. Zatem jeśli jedenasta jest równa siedemnastej, to dziesiąta jest równa szesnastej, dziewiąta jest równa piętnastej, ... , pierwsza jest równa siódmej, czyli okres zaczyna się bezpośrednio po przecinku.

Tak samo jak w powyższym przykładzie dowodzi się ogólnego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Niech mianownik q ułamka (nieskracalnego) nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się bezpośrednio po przecinku i ma długość mniejszą niż q.

Trochę trudniej dowodzi się twierdzenia:

Twierdzenie 2. Niech mianownik q ułamka nieskracalnego będzie postaci q = 2k . 5n . s, gdzie s nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5. Wtedy rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest okresowe o okresie zaczynającym się od m = 1 + max(k,n) miejsca po przecinku i ma długość mniejszą niż s.

Ideę dowodu prześledzimy na przykładzie:
najpierw skracamy ułamek (przez 3)
(że jest on nieskracalny zobaczymy dalej)
teraz rozkładamy mianownik na czynniki

(teraz widać, że jest nieskracalny, bo 861 nie dzieli się przez 2,5,17)





'Prawy' czynnik powyższego iloczynu, to ułamek, który z tw. 1. ma rozwinięcie zaczynające się bezpośrednio po przecinku (i długości mniejszej niż 17).
Mnożenie przez , to przesuwanie przecinka o trzy miejsca, więc okres zaczyna się od czwartego miejsca po przecinku.

(tylko dla dorosłych)



Na koniec zauważmy, że nie podaliśmy powyżej sposobu na odczytanie długości okresu rozwinięcia dziesiętnego danego ułamka.
O tym już wkrótce.




:               przysp.

Powrót na górę strony