Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie
jaka część pola zielonego koła jest wypełniona żółtymi pestkami,
czyli jaka jest wielkość
Poniżej prezentujemy kilkanaście zadań. Do niektórych dołączone są przykładowe rozwiązania. Zaskakujące jest, że w wielu z nich nie jest konieczne obliczanie wymiarów pestek oraz że można obejść się bez trygonometrii. Na końcu zebrane są trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania.
n-słoneczniki I rodzaju
Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.
Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Rozwiązanie
Dorysujmy okręgi (czerwone) o środku O dzielące tarczę słonecznika tak, że pestki o jednakowych wymiarach mieszczą się w pierścieniach wyznaczonych przez te okręgi.
W każdym pierścieniu stosunek pola pestek, do pola pierścienia
jest JEDNAKOWY. Zatem jest taki jak w całej tarczy, czyli:
Dalej wystarczy obliczyć ten stosunek w jednym (np. zewnętrznym) pierścieniu.
Trójkąt AOB jest równoramienny i kąt AOB ma 360o/6 = 60o, więc OA = 2r.
Stąd odpowiedź:
Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka
Zadanie to można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6
Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka Zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6
Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.
Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?
Rozwiązanie. Sposób 1
Połączmy odcinkami środki stykających się pestek.
Otrzymamy nieskończenie wiele czworokątów (trapezów równoramiennych).
Łącznie wypełniają niemal całą tarczę słonecznika (za wyjątkiem
otoczki zielonego okręgu, która, dla dużych wartości n, jest bardzo wąska, więc jej pole jest prawie równe 0).
Dla dużych wartości n owe czworokąty są prawie kwadratami.
W kwadracie o boku a cztery półkola o promieniu a/2
mają pole a2/4. Zatem zajmują a2/4 / a2 =
/4 pola kwadratu.
Zatem dla dużych wartości n, pestki zajmują prawie /4 pola tarczy słonecznika.
Rozwiązanie. Sposób 2
Licząc jak w rozwiązaniu zadaniu I.6, dla dowolnego n mamy:
Dla dużych wartości n iloczyn nr jest prawie równy połowie długości okręgu o promieniu OA. Dlaczego?
Stąd odpowiedź:
n-słoneczniki rodzaju I'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju I'.
Zadanie I'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Wskazówka
Połącz środki stykających się pestek.
Wygląda to tak:
Dalej wystarczy zmodyfikować sposób 1 rozwiązania zadania I..
n-słoneczniki II rodzaju
Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników II rodzaju.
Zadanie II.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Wskazówka Zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie I.6.
Zadanie II.8
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.
Zadanie II. Wydaje się, że dla dużych wartości n prawie połowa zielonego koła jest zamalowana na żółto. Czy to prawda?
Rozwiązanie Popatrzmy na wianuszek największych pestek i na wianuszek największych zielonych czworokątów. Te czworokąty mają pola mniejsze od pól (kwadratowych) pestek. Dlaczego?
Tak samo jest w następnej parze żółtych i zielonych wianuszków.
I w każdej następnej parze też jest tak samo.
Zatem pomijając zieloną część dotykającą brzegu tarczy, żółte pestki mają większe pole niż pozostała część tarczy.
Z drugiej strony pomijając pierwszy wianuszek pestek mamy:
wianuszek największych zielonych czworokątów ma większe pole od drugiego wianuszka żółtych pestek.
Drugi wianuszek zielonych czworokątów ma większe pole od trzeciego wianuszka żółtych pestek i tak dalej.
Zatem pomijając zieloną część dotykającą brzegu tarczy i pierwszy wianuszek pestek, żółte pestki mają mniejsze pole niż pozostała część tarczy.
Dla dużych wartości n wąskie otoczenie okręgu tarczy słonecznika ma pole prawie równe 0, zatem powyższe rozumowanie uzasadnia, że pestki stanowią niemal połowę tarczy słonecznika.
Zadanie to można też rozwiązać podobnie jak zadanie I. .
n-słoneczniki rodzaju II'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju II'.
Zadanie II'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
n-słoneczniki III rodzaju
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników III rodzaju.
Zadanie III. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Rozwiązanie Podziel każdy zielony czworokąt (deltoid) na dwa jednakowe trójkąty
prostokątne.
Każdy z tak powstałych trójkątów przesuń równolegle do jego dłuższej przyprostokątnej tak, by 'opadł' na największy żółty kwadrat.
Po takich przesunięciach cała zielona część mieści się w otoczeniu okręgu tarczy słonecznika wyznaczonym przez największy wianuszek pestek.
Ponieważ dla dużych wartości n to otoczenie jest bardzo wąskie, część zielona ma pole prawie równe 0.
To dowodzi, że dla dużych wartości n pole pestek jest prawie równe polu tarczy słonecznika.
n-słoneczniki rodzaju III'
Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju III'.
Zadanie III'. Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?
Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania
Zadanie I'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie II'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III.4 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III'.4 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
Zadanie III'.6 Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?
* 2500 - pierwsza po studiach pensja matematyka w szkole * 7000 - pierwsza po studiach pensja matematyka w korporacji * 2800 - pensja matematyka po pięciu latach pracy w szkole * 10000 - pensja matematyka po pięciu latach pracy w korporacji * w ciągu ostatnich 10 lat odsetek nauczycieli matematyki w wieku do 30 lat spadł o połowę, a w wieku powyżej 50 lat - wzrósł dwukrotnie
6 V zaczynają się egzaminy maturalne. Nauczyciele zawiesili strajk, ale nadal walczą o godność zawodu. Nie można pozwolić, aby byli haniebnie szkalowani. Maturzysto! Jeśli popierasz swoich nauczycieli, przyjdź na maturę w klapkach. Pokaż, że klapki należy nosić na nogach, a nie na oczach.
Bohater miesiąca
Podczas uroczystej sesji z okazji 100. urodzin Bolesława Gleichgewichta współpracownicy profesora z IM UWr wręczyli mu sympatyczną karykaturę autorstwa wrocławskiego plastyka Tomasza Brody. Jej duplikat uzupełni doskonale znaną już kolekcję "Zrób sobie matematyka" (tego samego autora) eksponowaną w holu głównym IM UWr.
Z wywiadu Romana Dudy z Bolesławem Gleichgewichtem: - Gdybyś stanął przed młodymi i miał im coś powiedzieć z perspektywy swoich 100 lat: jak się mają w życiu zachować, do czego mają dążyć, co jest w życiu ważne, co byś im powiedział?
- Powiedziałbym im, że trzeba być porządnym człowiekiem, że trzeba być uczciwym i stawiać zawsze na walkę o dobro, o wolność, o demokrację i szczęście ludzi.
Z przedmowy Romana Dudy: "Wspomnienia" Bolesława Gleichgewichta to książka barwnym językiem opisująca kilkanaście najbardziej dramatycznych lat w jego życiu, przepojona miłością do rodziny, matematyki i Polski, do polskiego języka i polskiej kultury.
Z zapisków studentki Marii Wanke z wykładu Algebry doc. Bolesława Gleichgewichta w roku 1970: * Po wykładzie z geometrii różniczkowej została różniczka kredy. * Teraz z różniczki kredy została nam nieskończenie mała wyższego rzędu. * To A mi się coraz bardziej stylizuje i robi się coraz bardziej kręcone. * Za daleko nie jedziemy, ale do r to możemy dojechać. * Tymi kropkami zastąpię całą machinę indukcji. * Jest to najbardziej ortonormalna z normalnych na świecie baz. * Macierz nazywamy tak, jak się nazywa jej mąż. Jeżeli operator jest unitarny, to pani macierz jest też unitarna.
Trójkąt AOB jest równoramienny i kąt AOB ma 360o/6 = 60o, więc OA = 2r.
a2/4. Zatem zajmują 
6 V zaczynają się egzaminy maturalne. Nauczyciele zawiesili strajk, ale nadal walczą o godność zawodu. Nie można pozwolić, aby byli haniebnie szkalowani. Maturzysto! Jeśli popierasz swoich nauczycieli, przyjdź na maturę w klapkach. Pokaż, że klapki należy nosić na nogach, a nie na oczach.
Podczas uroczystej sesji z okazji 100. urodzin Bolesława Gleichgewichta współpracownicy profesora z IM UWr wręczyli mu sympatyczną karykaturę autorstwa wrocławskiego plastyka Tomasza Brody. Jej duplikat uzupełni doskonale znaną już kolekcję "Zrób sobie matematyka" (tego samego autora) eksponowaną w holu głównym IM UWr.
Z przedmowy Romana Dudy:
