Słoneczniki

Data ostatniej modyfikacji:
2016-10-21

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie

jaka część pola zielonego koła jest wypełniona żółtymi pestkami,

czyli jaka jest wielkość

Poniżej prezentujemy kilkanaście zadań. Do niektórych dołączone są przykładowe rozwiązania. Zaskakujące jest, że w wielu z nich nie jest konieczne obliczanie wymiarów pestek oraz że można obejść się bez trygonometrii. Na końcu zebrane są trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania.

n-słoneczniki I rodzaju

Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.

Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Rozwiązanie

Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.

Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?

Rozwiązanie. Sposób 1

Rozwiązanie. Sposób 2

n-słoneczniki rodzaju I'

n-słoneczniki II rodzaju

n-słoneczniki rodzaju II'

n-słoneczniki III rodzaju

n-słoneczniki rodzaju III'

Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania

Dodaj komentarz

Powrót na górę strony

Arcydzieło miesiąca

Nakładem IM UWr ukazał się kalendarz na bieżący rok szkolny. Prezentuje on sylwetki najbardziej do dziś rozpoznawalnych na świecie uczonych związanych z Uniwersytetem Wrocławskim w latach 1945-2018.

Impreza miesiąca

W dniach 20-26 IX we Wrocławiu po raz 21. odbywa się Festiwal Nauki. Jego hasło przewodnie to "1918-2018". Ponad 20 ośrodków badawczych i edukacyjnych przygotowało ponad 1500 imprez popularyzujących naukę.

Bohater miesiąca

W tegorocznym rankingu BBC History Magazine Maria Skłodowska-Curie uznana została za najbardziej wpływową kobietą wszech czasów! Była niespełnioną miłością krakowskiego matematyka Kazimierza Żorawskiego (rektora UJ w latach 1917-1918). Pisała list polecający Einsteinowi, gdy ten ubiegał się o posadę uniwersytecką.

Odkrycie miesiąca

Maria Skłodowska-Curie znana jest głównie jako fizyk i chemik, jednak z podstawowego wykształcenia była też matematykiem. Już po roku studiów na paryskiej Sorbonie zdobyła licencjat z fizyki z pierwszą lokatą, a rok później - licencjat z matematyki z drugą lokatą.

Cytat miesiąca

"Urodziłam się w Warszawie" - od tych słów zaczynała swoje publiczne wystąpienia jedyna w historii kobieta - podwójna noblistka. Taki tytuł nosi poświęcony jej warszawski mural umieszczony na Bibliotece dla Dzieci i Młodzieży przy ul. Lipowej 3.

Lektura miesiąca

Nie tylko najmłodszym czytelnikom na kolejny rok szkolny polecamy zadania i problemy z mądrej i ciekawej książki Kamili Łyczek "Rodzinna matematyka" wznowionej właśnie nakładem PWN.

Trudne słowo

Liczba doskonała to taka liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników właściwych (tzn. mniejszych od niej). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6 = 1 + 2 + 3, następną 28 = 1+2+4+7+14, a kolejne to 496 i 8128.

Pytanie miesiąca

Jak znaleźć liczbę doskonałą? Euklides w III w. p.n.e. podał taki sposób: obliczaj sumy kolejnych potęg dwójki (1+2+4+8+...); jeżeli któraś z nich będzie liczbą pierwszą, pomnóż ją przez ostatni składnik; otrzymasz liczbę doskonałą. W XVIII w Euler pokazał, że w ten sposób można otrzymać wszystkie parzyste liczby doskonałe.

Problem miesiąca

Dotychczas znaleziono 50 liczb doskonałych - wszystkie parzyste. Nie ma jednak dowodu, że liczby doskonałe nieparzyste nie istnieją. Jeśli tak, to muszą być większe od 10^1500, bo mniejsze liczby zostały sprawdzone. Nie wiadomo też, czy liczb doskonałych jest skończenie, czy nieskończenie wiele.