Słoneczniki

Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie

Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.

 
 
 
Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.

Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?

 

---

 

Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju I'.

Zadanie I'.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?

 

---

 

Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników II rodzaju.

 
 
 
Zadanie II.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie II.8
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.

Zadanie II.
Wydaje się, że dla dużych wartości n prawie połowa zielonego koła jest zamalowana na żółto. Czy to prawda?

 

---

 

Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju II'.

Zadanie II'.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?

 

---

 

Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników III rodzaju.

Zadanie III.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?

 

---

 

Poniżej widać cztery przykłady n-słoneczników rodzaju III'.

Zadanie III'.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie tak, że niemal wszystko jest zamalowane na żółto, a iloraz pola żółtych kół do pola zielonego koła jest prawie równy 1. Czy to prawda?

 

---

 

 
        Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania

 
 
 
Zadanie I'.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie II'.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie III.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie III.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie III'.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

 
 
 
Zadanie III'.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?