Słoneczniki

Data ostatniej modyfikacji:
2016-10-21

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie

jaka część pola zielonego koła jest wypełniona żółtymi pestkami,

czyli jaka jest wielkość

Poniżej prezentujemy kilkanaście zadań. Do niektórych dołączone są przykładowe rozwiązania. Zaskakujące jest, że w wielu z nich nie jest konieczne obliczanie wymiarów pestek oraz że można obejść się bez trygonometrii. Na końcu zebrane są trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania.

n-słoneczniki I rodzaju

Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.

Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Rozwiązanie

Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.

Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?

Rozwiązanie. Sposób 1

Rozwiązanie. Sposób 2

n-słoneczniki rodzaju I'

n-słoneczniki II rodzaju

n-słoneczniki rodzaju II'

n-słoneczniki III rodzaju

n-słoneczniki rodzaju III'

Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania

Dodaj komentarz

Powrót na górę strony

Bohater miesiąca

W 2011 roku SP 53 we Wrocławiu przyjęła imię Stefana Banacha. Społeczność szkolna uznała, że znakiem czasów, a zarazem zaszczytem dla szkoły, która obchodziła wówczas jubileusz 60-lecia istnienia w powojennej Polsce, jest nadanie jej imienia genialnego polskiego matematyka.

Impreza miesiąca

23 XI w Chicago odbędzie się światowa premiera najnowszego filmu Wiesława Saniewskiego "Banach. Między duchem a materią". Reżyser jest absolwentem pierwszego rocznika klas matematycznych w III LO Ww oraz matematyki na UWr. Jak sam mówi, film stanowi jego podziękowanie dla matematyki, którą porzucił na rzecz kina. Część scen nakręcono w IM UWr. Narratorami filmu są między innymi prof. Roman Duda i prof. Marek Bożejko z IM UWr.

Arcydzieło miesiąca

Zachęcamy też do obejrzenia wzruszającego filmu TVP z 2005 roku o Stefanie Banachu w reżyserii Krzysztofa Langa pt. Przestrzenie Banacha.

Odkrycie miesiąca

W Krakowie na Górce Narodowej (z piękną panoramą Tatr) przy ul. Stefana Banacha powstaje osiedle 'Przestrzenie Banacha'. Jak twierdzi inwestor, będzie to genialne miejsce do życia.

Trudne słowo

Przestrzeń Banacha to przestrzeń zupełna z normą. Norma to uogólnienie pojęcia długości wektora z przestrzeni euklidesowej. Zupełność zaś oznacza, że ciągi Cauchy'ego [czytaj: kosziego] elementów z tej przestrzeni są zbieżne. Ciąg Cauchy'ego ma tę własność, że jego elementy o bardzo dużych numerach leżą bardzo blisko jeden drugiego.

Pytanie miesiąca

Fragment Hymnu matematyków (piosenki rajdowej studentów UW)
Oj, czy ktoś zna odpowiedź?
Ja się ciągle waham
Jak szybko można biegać
w przestrzeni Banacha?
Oj, zapytam się Cauchy'ego,
Bo w niej zbieżne ciągi jego.

Dowcip miesiąca

Przychodzi ciąg Cauchy'ego do lekarza, a lekarz mówi: Proszę się tam z tyłu nie tłoczyć!

Cytat miesiąca

Humanistyka jest w szkole średniej ważniejsza od matematyki. Matematyka to za ostry instrument,
to nie dla dzieci...
Stefan Banach