Słoneczniki

Data ostatniej modyfikacji:
2016-10-21

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

Ile słonecznik ma pestek? To zależy od gatunku słonecznika. Tu zbadamy 6 rodzajów słoneczników (czyli zielonych kół o środku w punkcie O i promieniu R), które mają nieskończenie wiele pestek. Zamiast liczyć pestki, będziemy obliczać ich łączne pole. W każdym przypadku interesować nas będzie odpowiedź na pytanie

jaka część pola zielonego koła jest wypełniona żółtymi pestkami,

czyli jaka jest wielkość

Poniżej prezentujemy kilkanaście zadań. Do niektórych dołączone są przykładowe rozwiązania. Zaskakujące jest, że w wielu z nich nie jest konieczne obliczanie wymiarów pestek oraz że można obejść się bez trygonometrii. Na końcu zebrane są trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania.

n-słoneczniki I rodzaju

Poniżej są dwa przykłady n-słoneczników I rodzaju.

Zadanie I.6
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Rozwiązanie

Zadanie I.4
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Zadanie I.3
Jaka część pola zielonego koła jest zamalowana na żółto?

Wskazówka

Popatrzmy na n-słoneczniki dla coraz większych wartości n.

Zadanie I.
Wydaje się, że dla coraz większych wartości n część pola zielonego koła zamalowana na żółto jest coraz większa, że rośnie, że zbliża się do jakiejś liczby. Do jakiej?

Rozwiązanie. Sposób 1

Rozwiązanie. Sposób 2

n-słoneczniki rodzaju I'

n-słoneczniki II rodzaju

n-słoneczniki rodzaju II'

n-słoneczniki III rodzaju

n-słoneczniki rodzaju III'

Trudniejsze i/lub żmudniejsze zadania

Dodaj komentarz

Powrót na górę strony

Impreza miesiąca

W IM UWr odbędzie się konferencja „Analiza i Zastosowania”. Wykłady wygłoszą najwybitniejsi matematycy naszych czasów, w tym czterech medalistów Fieldsa: Jean Bourgain, Charles Fefferman, Elon Lindenstrauss i Terence Tao. Konferencji matematycznej tak wysokiej rangi nie było w Polsce od lat, a we Wrocławiu jeszcze nigdy.

Problem miesiąca

Podczas wykładu dla szerokiej publiczności Terence Tao przedstawi swoje rozwiązanie słynnego "Erdös discrepancy problem", który pozostawał otwarty przez ponad 80 lat do 2015 roku, a dotyczy rozbieżności sum podciągów arytmetycznych ciągów złozonych z liczb 1 i -1.

Bohater miesiąca

Terrence Tao pochodzi z Australii. W wieku 9 lat zaczął uczęszczać na wykłady uniwersyteckie z matematyki. Trzy razy zdobył złoty medal na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej - po raz pierwszy w wieku 13 lat. Do dziś jest najmłodszym medalistą MOM. Doktorat obronił w wieku 21 lat. Obecnie pracuje w University of California w Los Angeles, USA.

Pytanie miesiąca

Dlaczego konferencja odbywa się we Wrocławiu? Honoruje Eliasa Steina z Uniwersytetu w Princeton i jego wkład w rozwój analizy harmonicznej zapoczątkowany przez matematyków Lwowskiej Szkoły Matematycznej, której tradycje zostały przeniesione na UWr dzięki Hugonowi Steinhausowi. Inny z jej przedstawicieli - Antoni Zygmund - był promotorem doktoratu Eliasa Steina na Uniwersytecie w Chicago. Twórcą wrocławskiej szkoły analizy harmonicznej był prof. Andrzej Hulanicki.

Trudne słowo

Analiza harmoniczna - gałąź matematyki o fundamentalnym znaczeniu dla wielu technologii, których używamy na co dzień, np. w medycynie (rentgenografia, tomografia komputerowa), w przetwarzaniu obrazów czy w kompresji danych.