W obrębie trójkąta

W trójkącie ABC umieszczono mniejszy trójkąt PQR. Gdy wierzchołki tego wewnętrznego trójkąta leżą na bokach trójkąta ABC, to duży trójkąt zabezpiecza go przed przesunięciem.

Jednak na ogół nie zabezpiecza przed obrotem.
Jak dobrać punkt O - środek obrotu, by przy małym obrocie trójkąt PQR przekręcił się nieco w obrębie trójkąta ABC?
Eksperymentuj, zmieniaj położenie punktu O oraz kształt trójkątów.

Zapewne zauważyłeś, że:

gdy P leży na boku AB, Q leży na boku BC, R leży na boku AC
a punkt O leży we wnętrzu trójkąta ABC (patrz rysunek), to:

- jeśli wszystkie trzy kąty OPA, OQB, ORC są rozwarte, to obracając nieco trójkąt PQR (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) pozostanie on w obrębie trójkąta ABC,

- jeśli wszystkie trzy kąty OPA, OQB, ORC są ostre, to obracając nieco trójkąt PQR (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) pozostanie on w obrębie trójkąta ABC.

Powyższe spostrzeżenie nie odpowiada jednak na pytanie, jak znaleźć takie 'dobre' położenie punktu O. Wyjaśnia to poniższy rysunek. 'Dobre' punkty O, to punkty leżące w różowym trójkącie, wyznaczonym przez proste prostopadłe do boków trójkąta ABC, przechodzące przez punkty P, Q, R.
Sprawdź.
Zobacz również, że punkty różowego trójkąta leżące poza trójkątem ABC też są 'dobre' jako środki obrotów.
Sprawdź też, że punkty spoza różowego trójkąta są 'złe'.

Czasami bywa tak, że różowy trójkąt znika - redukuje się do punktu (nazwijmy go S). Jest to sytuacja, w której proste przechodzące przez punkty P, Q, R, prostopadłe do boków trójkąta ABC, przecinają się w jednym punkcie (w punkcie S).

Jeśli punkt S leży w obrębie trójkąta ABC, to jest zarówno bardzo dobrze jak i bardzo źle:
-   jest bardzo dobrze, bo wtedy 'małe' obroty względem S w którąkolwiek stronę zachowują PQR w obrębie ABC,
-   jest bardzo źle, bo trzeba dokładnie wybrać środek obrotu, każdy punkt inny niż S jest niedobry.

Jeśli proste przechodzące przez punkty P, Q, R, prostopadłe do boków trójkąta ABC, przecinają się w punkcie S, leżącym poza trójkątem ABC, to obracając trójkąt względem S powodujemy, że jeden z wierzchołków P, Q, R (ten najbliższy S) kręci się poza trójkątem ABC.

Powyższy przypadek (proste przechodzące przez punkty P, Q, R, prostopadłe do boków trójkąta ABC, przecinają się w punkcie S, leżącym poza trójkątem ABC) jest jedynym, w którym trójkąt ABC zabezpiecza trójkąt PQR przed obrotem.

Jednak i w tym przypadku można przemieścić trójkąt PQR w obrębie trójkąta ABC.
Sprawdź (przesuwając punkt P' po odcinku AB).

Co to za 'przemieszczenie'? Co to za ruch? Ani przesunięcie, ani obrót!
W każdej chwili (przy małych przesunięciach P') trójkąt P'Q'R' (przystający do PQR) znajduje się w obrębie trójkąta ABC.
Poniższy rysunek tłumaczy, jak powstają punkty Q', R' dla zadanego punktu P' odcinka AB.

Najpierw obracamy trójkąt PQR względem S o taki kąt, by P₀ (obraz punktu P) leżał na prostej prostopadłej do AB, przechodzącej przez P'.
Następnie powstały trójkąt P₀Q₀R₀ przesuwamy o wektor P₀P'. Otrzymany w ten sposób trójkąt P'Q'R' jest oczywiście przystający do PQR.

Zobaczymy poniżej, że P'Q'R' leży w obrębie trójkąta ABC.
Punkty Q₀, R₀ leżą w trójkącie ABC, ale czy przesunięcie nie wyprowadza ich poza ten trójkąt?
Zauważmy, że P₀ leży bliżej boku AB niż odległość Q₀ od boku BC i odległość R₀ od boku AC (bo P leży bliżej AB niż odległość Q od boku BC i odległość R od boku AC). Zatem gdy przesuwamy punkty Q₀ i R₀ w którąkolwiek stronę o nie więcej niż odległość P₀ od boku AB, pozostaną one w obrębie trójkąta ABC.

Uwaga 1.
Trójkąt P'Q'R' jest obrazem trójkąta PQR w obrocie względem pewnego punktu (bliskiego S), ale ten obrót nie jest opisywanym tu przemieszczeniem.

Z powyższych rozważań otrzymujemy kilka wniosków.

Wniosek 1.   Niech trójkąt PQR leży w trójkącie ABC i A, B, C nie są punktami trójkąta PQR.
Wtedy można przemieścić PQR do wnętrza ABC (w obrębie ABC).

Wniosek 2.   Niech trójkąt PQR leży w trójkącie ABC i A, B, C nie są punktami trójkąta PQR.
Wtedy w trójkącie ABC mieści się trójkąt podobny do PQR w skali większej od 1.

Wniosek 3.  
Największy trójkąt równoboczny zawarty w danym trójkącie ABC zawiera co najmniej jeden z wierzchołków A, B, C .

Wniosek 4.  
Największy trójkąt podobny do danego trójkąta PQR, zawarty w danym trójkącie ABC zawiera co najmniej jeden z wierzchołków A, B, C .

Zadanie 1.  
Jakie pole ma największy trójkąt równoboczny zawarty w trójkącie ABC, gdzie
 
a)  A, B, C są kolejnymi wierzchołkami kwadratu o boku 1 cm,
 
b)  ABC jest trójkątem o bokach długości 3 cm, 4 cm, 5 cm,
 
c)  AB = 6 cm, AC = BC = 10 cm.

Zadanie 2.  
Jakie pole ma największy trójkąt prostokątny równoramienny zawarty w trójkącie ABC, gdzie
 
a)  AB = BC = CA = 4 cm,
 
b)  ABC jest trójkątem o bokach długości 3 cm, 4 cm, 5 cm,
 
c)  AB = 6 cm, AC = BC = 10 cm.

Uwaga 2.
Być może najciekawsze w tych rozważaniach jest owo przemieszczenie, ruch, który nie jest ani obrotem, ani przesunięciem.