KĄCIK NAUKOWY › Kółko matematyczne

Wielościany z kreskowaną podstawą

Data ostatniej modyfikacji:
2012-11-24
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła podstawowa
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Do rysunków 3D w niebieskich ramkach
użyto apletu www.javaview.de/
Można w nich manipulować myszą.


 


 
Wyobraź sobie, że prostopadłościan W
 
jest zbudowany z prostokątów:
  -  kreskujemy podstawę,
  -  nad kreskami ustawiamy prostokąty jednakowej wysokości, prostopadle do podstawy.
Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.
Oczywiście są też .
bryła W          nad kreskami 
anty:

Ciekawsze bryły dostaniemy, gdy w miejsce prostokątów będziemy wstawiać inne wielokąty o wymiarach zależnych od długości kresek. Zobacz.

 

 

 

Wyobraź sobie bryłę W :
 
Podstawą P bryły W jest trapez ABCD pokreskowany
(Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.)
 
Każda kreska jest
wystawionego w płaszczyźnie prostopadłej do podstawy P.
 
Jak wygląda bryła W ?
Wyobraź sobie
i sprawdź (zaznacz kwadrat pod rysunkiem).
bryła W          nad kreskami 
anty:

 

Dalej proponujemy kilka zadań.
Pomijając wyznaczanie objętości, dostajemy zadania nie wymagające niemal żadnej wiedzy.
Potrzebna jest tylko(?) wyobraźnia.
Nieco trudniejsze są zadania III' i IV'.  

 

 

Zadanie I.   Niech P oznacza kwadrat ABCD, gdzie AB = 4.
Wyznacz: liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian oraz objętość bryły W o podstawie P,
która jest pokreskowana:
  1) równoległe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na DA
 
  2) równoległe do przekątnej AC i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB lub DA
 
 

Zadanie II.   Niech P oznacza trójkąt równoboczny ABC, gdzie AB = 4.
Wyznacz: liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian oraz objętość bryły W o podstawie P,
która jest pokreskowana:
  1) równoległe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
         o wierzchołkach kątów prostych leżących na AC
 
  2) prostopadłe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
         o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB
       e) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych nie leżących na AB
 
 

Zadanie III.   Niech P oznacza trójkąt ostrokątny ABC, gdzie AB = a i wysokość CD = h.
Wyznacz wzór na objętość bryły W o podstawie P, która jest pokreskowana:
  1) równoległe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
 
  2) prostopadłe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
 
 

Zadanie III'.   Które odpowiedzi do Zadania III nie zmienią się, gdy trójkąt ABC jest rozwartokątny?
 
 

Zadanie IV.   Niech P oznacza prostokąt ABCD, gdzie AB = 4, BC = 3.
Wyznacz: liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian oraz objętość bryły W o podstawie P,
która jest pokreskowana:
  1) równoległe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na DA
 
  2) prostopadłe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB
 
  3) równoległe do przekątnej AC i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB lub DA
 
 

Zadanie IV'.   Niech P oznacza prostokąt ABCD, gdzie AB = 4, BC = 3.
Wyznacz: liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian oraz objętość bryły W o podstawie P,
która jest pokreskowana:
  1) kreskami nachylonymi do boku AB pod kątem 45o i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB lub DA
 
  2) kreskami nachylonymi do boku AB pod kątem 60o i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB lub DA
 
  3) prostopadle do przekątnej AC i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na AB lub BC
 
 

Zadanie V.   Niech P oznacza sześciokąt foremny ABCDEF, gdzie AB = 4.
Wyznacz: liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian oraz objętość bryły W o podstawie P,
która jest pokreskowana:
  1) równoległe do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na EF lub FA
 
  2) prostopadle do boku AB i kreski są:
       a) bokami kwadratów
       b) bokami trójkątów równobocznych
       c) przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
       d) przyprostokątnymi trójkątów prostokątnych, równoramiennych
        o wierzchołkach kątów prostych leżących na FA lub AB lub BC
 

 

 

Inne bryły z kreskowaną podstawą omawiamy w tekście Bryły z kreskowaną okrągłą podstawą.

 

 

Powrót na górę strony