Wilk i zając - wersja 1D

Zając Z biega wzdłuż płotu od A do B i z powrotem, w stałym tempie: v_Z = 1 m na sekundę. Goni go wilk W, w stałym tempie: v_W = 0,5 m na sekundę < v_Z. Na szczęście jest po drugiej stronie płotu AB.
Gdy wilk "spotyka" zająca, groźnie szczerzy kły, a zając tylko się uśmiecha i... biegną dalej, każdy po swojej stronie płotu AB.

Co w tym interesującego? Ruch zająca jest znany. Ciekawe jednak, jak biega wilk. Wygląda to mniej więcej tak, jak na poniższym dynamicznym rysunku. (W tabeli podano pozycje zająca i wilka względem punktu A, w początkowych 400 sekundach gonitwy.)

Z W	czas: 0s     długość skoku (droga w ciągu 1 sekundy):       zająca = 1,    wilka = vW = 0.5     pozycja początkowa (licząc od A):       zająca = 0,    wilka = w0 = 4     długość płotu AB = 6

 
Ruch zająca jest okresowy, o okresie 2AB, to znaczy co 2AB zając jest w tej samej pozycji.
 
Ruch wilka po pewnym czasie staje się też ruchem okresowym, także o okresie 2AB. Trudniej to jednak zobaczyć. Sprawdź w tabeli pozycje dla czasów będących wielokrotnościami 2AB.
 
Co więcej, wydaje się, że niezależnie od początkowej pozycji w₀ ów okresowy ruch wilka (po pewnym czasie) jest prawie ten sam.

Jak to wytłumaczyć?

Zobaczmy tę gonitwę w wersji ciągłej, to znaczy, gdy zając i wilk nie skaczą, ale posuwają się jak ślimaki.

Zygzaki zająca powtarzają się, tzn. są okresowe.
Zygzaki wilka po pewnym czasie wyglądają na takie same (przesuwaj w₀).
Zobacz, że im większa jest prędkość v_W wilka, tym szybciej jego ruch przypomina ruch okresowy.

Lepiej to widać, gdy prześledzimy ruch trzech wilków W', W'' i W* goniących zająca w tym samym tempie v_W < v_Z.
Ruch wilka W* od startu jest ruchem okresowym. Można obliczyć (szczegóły pomijamy), że tak jest, gdy pozycja początkowa jest równa:
  w₀*  =  AB ( 1 - (v_W / v_Z)² ) / 2 .
Ruchy każdego innego wilka "upodabniają się" do ruchu wilka W*.

Zauważmy, że:
- jeśli zając nie jest pomiędzy wilkami W', W'', to biegną one w tą samą stronę, z tą samą prędkością, więc dystans pomiędzy nimi się nie zmienia,
- jeśli zając jest pomiędzy wilkami W', W'', to biegną one "do siebie", więc dystans pomiędzy nimi się zmniejsza,
- jeśli zając jest pomiędzy wilkami W', W'', to jeden z nich biegnie w tę samą stronę co zając i wolniej od niego, zatem ten drugi spotka się z zającem i dalej wszyscy (oba wilki i zając) pobiegną w tę samą stronę.

Niech w_t', w_t'', w_t* i z_t' oznaczają pozycje wilków W', W'', W* i zająca Z w chwili t.
Poprzednie spostrzeżenia pozwalają na sformułowanie poniższych faktów.

FAKT 1.   Jeśli na starcie W' jest bliżej A niż W'', to tak jest stale, czyli zygzaki wilków leżą jeden nad drugim.
Symbolicznie:  w₀' < w₀''     w_t' < w_t'' ,   dla dowolnego   t 0 .

FAKT 2.   Zygzaki wilków nie oddalają się.
Symbolicznie:  t₁ < t₂     |w_t1' - w_t1''| |w_t2' - w_t2''| ,   dla dowolnych   t₁, t₂ 0 .

Poniżej pokażemy jak bardzo zbliżają się zygzaki wilków.

FAKT 3.   Podczas gdy zając przebiega pomiędzy wilkami, dystans między wilkami zmniejsza się (v_Z - v_W) / (v_Z + v_W) razy.
Symbolicznie: 
( t₁ < t₂ i z_t1 = w_t1' i z_t2 = w_t2'' )       |w_t2' - w_t2''| = |w_t1' - w_t1''| ^. (v_Z - v_W) / (v_Z + v_W)
oraz
( t₁ < t₂ i z_t1 = w_t1'' i z_t2 = w_t2' )       |w_t2' - w_t2''| = |w_t1' - w_t1''| ^. (v_Z - v_W) / (v_Z + v_W) .

Dowód  
Na rysunku widać, że w czasie pomiędzy t₁ i t₂ zając Z i wilk W'' biegną ku sobie, pokonując łącznie dystans |w_t1'' - w_t1'| , więc
      |w_t1'' - w_t1'|  =  (v_Z + v_W) ^. (t₂ - t₁) .
W tym samym czasie zając oddali się od W' o |w_t2'' - w_t2'|, więc
      |w_t2'' - w_t2'|  =  (v_Z - v_W) ^. (t₂ - t₁) .
Zatem
      |w_t2'' - w_t2'| / |w_t1'' - w_t1'|  =  (v_Z - v_W) / (v_Z + v_W) .

Ponieważ w ciągu jednego okresu ruchu zająca przebiega on dwa razy pomiędzy wilkami, mamy następujący wniosek.

FAKT 4.   W czasie jednego okresu ruchu zająca dystans między wilkami
zmniejsza się (v_Z - v_W)² / (v_Z + v_W)² razy.

Zauważmy, że w przypadku, gdy zając biega dwa razy szybciej niż wilki,
po pierwszym okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/9 początkowego,
po drugim okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/81 początkowego,
po n-tym okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/9ⁿ początkowego.
Jeśli jeden z tych wilków jest szczególnym wilkiem W*, poruszającym się okresowo, to ten drugi z upływem czasu biegnie coraz bliżej W*.
Ogólnie mamy :

FAKT 5.   Ruch każdego wilka z upływem czasu 'upodabnia' się do okresowego ruchu wilka W*.

Zając może różnie biegać wzdłuż płotu AB. Załóżmy jedynie, że biega okresowo (ze stałymi prędkościami na pewnych przedziałach czasu) i że jego prędkość nie przekracza pewnej stałej wielkości v_Z. Wilki gonią zająca (po drugiej stronie płotu) w sposób następujący:
- jeśli są daleko od zająca, biegną w stronę zająca z maksymalną stałą prędkością v_W < v_Z,
- jeśli spotkają się z zającem, to biegną z nim razem o ile aktualna prędkość zająca jest nie większa od v_W.

Wygląda to tak, jak na poniższym dynamicznym rysunku, gdzie pokazano dwa okresy ruchu zająca i trzy goniące go wilki. (Przesuwając czarne punkty, możesz zmieniać ruch zająca.)

Okazuje się, że poprzednio sformułowane fakty, po nieznacznych modyfikacjach obowiązują również w tym przypadku. (Te modyfikacje polegają głównie na zamianie równości na słabe nierówności; szczegóły pozostawiamy starszym czytelnikom do samodzielnego uzupełnienia.) Najważniejsze, że i w tym przypadku ruchy wilków z biegiem czasu 'upodobniają' się do ruchu okresowego pewnego wilka. Spróbuj znaleźć go empirycznie, ustawiając tak w₀, by ruch był okresowy.

UWAGA.   (tylko dla dorosłych)
Sprecyzowanie pojęcia 'upodabniania' oraz formalny dowód Faktu 5 i jego uogólnienia wymagają nieco matematyki wyższej, przede wszystkim lematu Banacha o odwzorowaniach zwężających.
Istota sprawy, owe