Wilk i zając - wersja 1D

Data ostatniej modyfikacji:
2010-12-13
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
funkcje

Zając Z biega wzdłuż płotu od A do B i z powrotem, w stałym tempie: vZ = 1 m na sekundę. Goni go wilk W, w stałym tempie: vW = 0,5 m na sekundę < vZ. Na szczęście jest po drugiej stronie płotu AB.
Gdy wilk "spotyka" zająca, groźnie szczerzy kły, a zając tylko się uśmiecha i... biegną dalej, każdy po swojej stronie płotu AB.

Co w tym interesującego? Ruch zająca jest znany. Ciekawe jednak, jak biega wilk. Wygląda to mniej więcej tak, jak na poniższym dynamicznym rysunku. (W tabeli podano pozycje zająca i wilka względem punktu A, w początkowych 400 sekundach gonitwy.)

Z
W

     czas: 0s  

  długość skoku (droga w ciągu 1 sekundy):
      zająca = 1,    wilka = vW = 0.5
 
  pozycja początkowa (licząc od A):
      zająca = 0,    wilka = w0 = 4
 
  długość płotu AB = 6
 

 
Ruch zająca jest okresowy, o okresie 2AB, to znaczy co 2AB zając jest w tej samej pozycji.
 
Ruch wilka po pewnym czasie staje się też ruchem okresowym, także o okresie 2AB. Trudniej to jednak zobaczyć. Sprawdź w tabeli pozycje dla czasów będących wielokrotnościami 2AB.
 
Co więcej, wydaje się, że niezależnie od początkowej pozycji w0 ów okresowy ruch wilka (po pewnym czasie) jest prawie ten sam.

Jak to wytłumaczyć?

Zobaczmy tę gonitwę w wersji ciągłej, to znaczy, gdy zając i wilk nie skaczą, ale posuwają się jak ślimaki.

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać 'wypełnione' punkty.

 

Zygzaki zająca powtarzają się, tzn. są okresowe.
Zygzaki wilka po pewnym czasie wyglądają na takie same (przesuwaj w0).
Zobacz, że im większa jest prędkość vW wilka, tym szybciej jego ruch przypomina ruch okresowy.


 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać 'wypełnione' punkty.

Lepiej to widać, gdy prześledzimy ruch trzech wilków W', W'' i W* goniących zająca w tym samym tempie vW < vZ.
Ruch wilka W* od startu jest ruchem okresowym. Można obliczyć (szczegóły pomijamy), że tak jest, gdy pozycja początkowa jest równa:
  w0*  =  AB ( 1 - (vW / vZ)2 ) / 2 .
Ruchy każdego innego wilka "upodabniają się" do ruchu wilka W*.


 

Zauważmy, że:
- jeśli zając nie jest pomiędzy wilkami W', W'', to biegną one w tą samą stronę, z tą samą prędkością, więc dystans pomiędzy nimi się nie zmienia,
- jeśli zając jest pomiędzy wilkami W', W'', to biegną one "do siebie", więc dystans pomiędzy nimi się zmniejsza,
- jeśli zając jest pomiędzy wilkami W', W'', to jeden z nich biegnie w tę samą stronę co zając i wolniej od niego, zatem ten drugi spotka się z zającem i dalej wszyscy (oba wilki i zając) pobiegną w tę samą stronę.

Niech wt', wt'', wt* i zt' oznaczają pozycje wilków W', W'', W* i zająca Z w chwili t.
Poprzednie spostrzeżenia pozwalają na sformułowanie poniższych faktów.

FAKT 1.   Jeśli na starcie W' jest bliżej A niż W'', to tak jest stale, czyli zygzaki wilków leżą jeden nad drugim.
Symbolicznie: 

FAKT 2.   Zygzaki wilków nie oddalają się.
Symbolicznie: 

Poniżej pokażemy jak bardzo zbliżają się zygzaki wilków.

FAKT 3.   Podczas gdy zając przebiega pomiędzy wilkami, dystans między wilkami zmniejsza się (vZ - vW) / (vZ + vW) razy.
Symbolicznie: 

Dowód  


Ponieważ w ciągu jednego okresu ruchu zająca przebiega on dwa razy pomiędzy wilkami, mamy następujący wniosek.

FAKT 4.   W czasie jednego okresu ruchu zająca dystans między wilkami
zmniejsza się (vZ - vW)2 / (vZ + vW)2 razy.

Zauważmy, że w przypadku, gdy zając biega dwa razy szybciej niż wilki,
po pierwszym okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/9 początkowego,
po drugim okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/81 początkowego,
po n-tym okresie dystans między wilkami będzie wynosił 1/9n początkowego.
Jeśli jeden z tych wilków jest szczególnym wilkiem W*, poruszającym się okresowo, to ten drugi z upływem czasu biegnie coraz bliżej W*.
Ogólnie mamy :

FAKT 5.   Ruch każdego wilka z upływem czasu 'upodabnia' się do okresowego ruchu wilka W*.

 

 


 

 

Zając może różnie biegać wzdłuż płotu AB. Załóżmy jedynie, że biega okresowo (ze stałymi prędkościami na pewnych przedziałach czasu) i że jego prędkość nie przekracza pewnej stałej wielkości vZ. Wilki gonią zająca (po drugiej stronie płotu) w sposób następujący:
- jeśli są daleko od zająca, biegną w stronę zająca z maksymalną stałą prędkością vW < vZ,
- jeśli spotkają się z zającem, to biegną z nim razem o ile aktualna prędkość zająca jest nie większa od vW.

Wygląda to tak, jak na poniższym dynamicznym rysunku, gdzie pokazano dwa okresy ruchu zająca i trzy goniące go wilki. (Przesuwając czarne punkty, możesz zmieniać ruch zająca.)

 

Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R. Można przesuwać 'wypełnione' punkty.

 

Okazuje się, że poprzednio sformułowane fakty, po nieznacznych modyfikacjach obowiązują również w tym przypadku. (Te modyfikacje polegają głównie na zamianie równości na słabe nierówności; szczegóły pozostawiamy starszym czytelnikom do samodzielnego uzupełnienia.) Najważniejsze, że i w tym przypadku ruchy wilków z biegiem czasu 'upodobniają' się do ruchu okresowego pewnego wilka. Spróbuj znaleźć go empirycznie, ustawiając tak w0, by ruch był okresowy.

UWAGA.   (tylko dla dorosłych)
Sprecyzowanie pojęcia 'upodabniania' oraz formalny dowód Faktu 5 i jego uogólnienia wymagają nieco matematyki wyższej, przede wszystkim lematu Banacha o odwzorowaniach zwężających.
Istota sprawy, owe

'upodobnianie się ruchów wilków, do ruchu okresowego jednego z wilków',
leży we własności sformułowanej w Fakcie 4 (i jego uogólnieniu).

 

Powrót na górę strony