Wszystkie połowiące obwód trójkąta

Wysokość trójkąta równobocznego, czyli odcinek łączący prostopadle wierzchołek z przeciwległym bokiem, dzieli obwód tego trójkąta na połowy. Są też inne odcinki połowiące obwód trójkąta. Jak wygląda kolekcja wszystkich takich odcinków w dowolnym trójkącie? Tym zajmiemy się poniżej.

Jak dla punktu Q leżącego na brzegu ABC, wyznaczyć odcinek QQ' połowiący obwód ABC?
Wystarczy znaleźć odcinek długości obwód/2 i odłożyć go 'wzdłuż obwodu' zaczynając w punkcie Q. Szczegóły zobaczysz na poniższym rysunku.
 

Prześledź kroki konstrukcji (ikona ).
 

---

 

Gdy punkt Q leży na AB blisko B, konstrukcję należy przeprowadzić analogicznie, zamieniając rolami punkty A i B.
Widać (ikona ), że punkt C' (połowiącej CC') rozgranicza te dwa przypadki.
Czy punkt C' jest środkiem AB? Sprawdź, przesuwając punkty A, B, C (ikona ).

Dla punktów leżących w innych częściach brzegu trójkąta, konstrukcję należy nieco zmodyfikować.
Na poniższym rysunku widać wiele takich połowiących.  

Można zobaczyć ich więcej/mniej, przesuwając brązową kropkę (ikona ).
 

---

 

Co tu widać?

Widać, że wszystkie połowiące trójkąta tworzą 'dziwny pęk' odcinków. Dziwny - bo nie przechodzą przez jeden punkt. Wyznaczają pewien 'dziwny trójkąt'. Co to za 'dziwny trójkąt'?

Zanim go opiszemy, nazwijmy go d-trójkątem A_oB_oC_o.

Przesuwając punkty A, B, C (ikoną ), można zaobserwować, że zawsze:
 -  d-wierzchołki A_o, B_o, C_o leżą na połowiących AA', BB', CC' (kliknij ),
 -  d-trójkąt jest 'wklęsły',
 -  w d-trójkącie leży punkt przecięcia połowiących AA', BB', CC'.

To wszystko są tylko empiryczne obserwacje.

Szczegółowo zajmiemy się d-bokami, zbadamy ich kształt.

Zbadamy kształt d-boku d-trójkąta dla konkretnego trójkąta ABC, mianowicie dla trójkąta o wierzchołkach: A(0, 0), B(15, 20) i C(-15, 20).
Najpierw jednak dla rozgrzewki:
 -  oblicz długości boków AB, AC i BC,
 -  wyznacz równania prostych AB i AC,
 -  sprawdź, że dla K(12, 16), K'(-12, 16) odcinek KK' jest połowiącą tego trójkąta,
 -  sprawdź, że AK = AK' = 20,
 
Na poniższym rysunku pokazana jest konstrukcja połowiących LL' (w oparciu o KK').
Mianowicie
przez punkt T prostej KK', prowadzimy prostą prostopadłą do KK', która w przecięciu z odcinkiem AB wyznacza punkt L. Punkt M jest odbiciem punktu L w prostej KK'.
Prosta równoległa do KK', przechodząca przez M, w przecięciu z AC wyznacza punkt L'.
Sprawdź, że LK = L'K', czyli że LL' jest połowiącą trójkąta ABC.
 

Przesuwając T, zobaczysz wiele połowiących LL'.
 

---

 

Tak wyznaczona połowiąca LL' zależy od długości t odcinka KT. Pokażemy, że wszystkie te połowiące ślizgają się po pewnej paraboli. Znajdziemy równanie tej paraboli.
 
Nachylenie prostej LL' jest równe LM : L'M = 2LT : KK' = 2 ^. 4/3 ^. t : 24 = t/9 i prosta ta przechodzi przez punkt L(12+t, 16 + 4/3 ^. t). Zatem jej równanie ma postać:

y   =   t/9 ^. ( x - (12+t) )  +  16 + 4/3 ^. t, czyli po przekształceniach (sprawdź!) mamy: y   =   1/9 ^. ( x²/4 - (t - x/2)² )  +  16 .

Ponieważ

y   =   1/9 ^. ( x²/4 - (t - x/2)² )  +  16     1/9 ^. ( x²/4 - 0 )  +  16   =   1/36 ^. x²  +  16,
wszystkie połowiące LL' nie przewyższają paraboli y   =   1/36 ^. x² + 16 ,
ślizgają się po niej (stykając się z nią dla x = 2t ).
Można zobaczyć (ikona ), że parabola ta jest styczna do połowiących BB' i CC'.

Podobnym rachunkiem można pokazać, że tak jest ogólnie (nie tylko dla tego szczególnego trójkąta):

połowiące obwód trójkąta ABC ślizgają się po fragmentach trzech parabol
stycznych do połowiących wychodzących z wierzchołków: do AA', do BB' i do CC'.

Najciekawsze jest jednak to, że owe fragmenty parabol, po których ślizgają się połowiące, nie są d-bokami. Można to sprawdzić (mozolnym rachunkiem), wyznaczając punkty styczności parabol z połowiącymi AA', BB', CC'. Można też to zobaczyć na poniższym rysunku (punkty styczności zaznaczone są kolorem niebieskim).
 

Zobaczysz wyraźniej d-boki, gdy przesuniesz punkty A, B, C (ikona ).
 

---

 

d-bok trójkąta ABC leżący naprzeciwko wierzchołka A składa się z fragmentu paraboli stycznej do połowiących BB', CC' i z jednego lub dwóch odcinków zawartych w tych połowiących.
 
(Tylko w przypadku trójkąta równobocznego wszystkie te odcinki redukują się do punktów.)
 
Zatem d-trójkąt powinien być raczej nazwany d-sześciobokiem o trzech bokach będących fragmentami parabol i o trzech bokach będących fragmentami połowiących wychodzących z wierzchołków.
 

Na koniec proponuję, by samodzielnie zbadać (to znaczy oglądnąć lub/i wyrachować), jakie własności mają środki połowiących, gdzie leżą, jakie są ich szczególne położenia, itp.
(Można też podglądnąć: kliknij ).
Pojawi się wiele dalszych ciekawych pytań (może nawet znacznie ciekawszych niż odpowiedzi na nie).