Środkowa trójkąta - odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku - dzieli pole tego trójkąta na połowy (bo powstałe dwa trójkąty mają wspólną wysokość i równe podstawy).
Są też inne odcinki dzielące trójkąt na dwie figury o równych polach.
Jak dla punktu Q leżącego na brzegu trójkąta,
wyznaczyć taki odcinek QQ'?
Odkryj schowane obiekty (ikoną 
)
i prześledź kroki konstrukcji (ikoną 
).
Dlaczego to jest poprawna konstrukcja?
Dlaczego odcinek QQ' połowi pole trójkąta ABC ?
Dorysuj odcinek QBQ' (ikona 
).
Widać wtedy, że:
(Dlaczego poprawne są poszczególne równości?)
Dla punktów leżących w innych częściach brzegu trójkąta, konstrukcję należy nieco zmodyfikować. Na poniższym rysunku widać wiele takich połowiących.
Można zobaczyć ich więcej/mniej
przesuwając brązową kropkę (ikoną 
).
Co widać?
Widać, że wszystkie połowiące trójkąta tworzą 'niby pęk odcinków', 'niby' - bo nie przechodzą przez jeden punkt. Wyznaczają pewien 'niby trójkąt'. Co to za 'niby trójkąt'?
Nim go opiszemy, to go nazwijmy: n-trójkątem AoBoCo.
Przesuwając punkty A, B, C (ikoną ),
można zaobserwować, że zawsze:
-
n-wierzchołki Ao, Bo, Co
leżą na odpowiednich środkowych trójkąta A, B, C,
-
n-trójkąt jest 'wklęsły',
-
w n-trójkącie leży środek ciężkości trójkąta ABC (= punkt przecięcia środkowych).
To wszystko są 'empiryczne' obserwacje. Żadnej z nich nie umiemy uzasadnić, bo... nie
podaliśmy precyzyjnego określenia n-trójkąta. Czym jest n-trójkąt?
Można powiedzieć tak:
n-trójkąt trójkąta ABC tworzą wszystkie punkty przecięć
odcinków połowiących pole trójkąta ABC.
Można powiedzieć trochę inaczej:
n-trójkątem trójkąta ABC nazywamy zbiór wszystkich punktów przecięć
prostych połowiących pole trójkąta ABC.
Albo jeszcze inaczej:
Punkty, przez które można poprowadzić co najmniej dwie proste połowiące pole trójkąta ABC tworzą n-trójkąt trójkąta ABC.
Wszystkie te próby określenia mają (drobną?) wadę - n-wierzchołki nie spełniają opisanych warunków! Porzućmy więc próby definiowania. Zajmijmy się opisaniem własności.
Szczegółowo zajmiemy się n-bokami.
Czy n-boki n-trójkąta są łukami pewnych okręgów?
Może nie zawsze, ale dla trójkąta równobocznego wydaje się to słuszne (jakie są ich promienie?).
Ponadto widać, że wtedy środki środkowych są n-wierzhołkami.
Czy tak jest faktycznie?
Nim odpowiemy na te pytania wyznaczymy równanie linii, na której leży n-bok BoCo dla trójkąta prostokątnego ABC, o polu 8, zadanego w układzie współrzędnych: A(0,0), B(4,0) i C(0,4).
Ten n-bok BoCo jest wyznaczony przez odcinki PP' połowiące pole, gdzie
Proste PP' tworzą pewną kolekcję (nazwijmy ją K ). Mają one równania:
Zaznaczając odcinek PP' ikoną 
i przesuwając P, zobaczysz wyrażniej n-boki.
Teraz najważniejsze:
wszystkie te proste z kolekcji K wyznaczają pewną linię,
na której leży n-bok BoCo.
W jakim sensie 'wyznaczają'? Ano w takim:
dla ustalonej liczby x, dla pionowej prostej przechodzącej przez punkt (x, 0)
szukamy na tej prostej najwyżej położony punkt (x, y) należący do którejś z prostych
z K.
Wyznaczymy y w zależności od x. Myślmy dalej, że x jest ustalone.
Sprawdź (przekształcając prawą stronę), że
2/x
Stąd równanie szukanej linii:
Ta linia jest nazywana obwiednią kolekcji K.
Proste z tej kolekcji toczą się (albo ślizgają) po tej hiperboli.
Można sprawdzić (nieco bardziej zaawansowanym rachunkiem), że boki
każdego n-trójkąta leżą na hiperbolach.
(Zatem również w trójkącie równobocznym nie leżą na okręgach, to co widzieliśmy,
to było tylko złudzenie (przybliżenie).
Można sprawdzić też rachunkowo (lub empirycznie), że zawsze:
-
n-wierzchołki Ao, Bo, Co
są środkami środkowych trójkąta ABC,
-
n-boki są styczne do środkowych trójkąta ABC,
-
suma n-kątów n-trójkąta jest równa 0,
-
środki odcinków połowiących ABC leżą na n-bokach n-trójkąta (wyznaczają je).
