Wytoczone serca

Kardioida jest linią w kształcie serca. Wykreśla ją punkt brzegu koła toczącego się po nieruchomym kole o takim samym promieniu. Podobne kształty można uzyskać, tocząc inne figury. Przyjrzymy się im.

 

---

 

Niech po kole o promieniu R toczy się (bez poślizgu) koło o takim samym promieniu. Ustalony punkt brzegu toczącego się koła (na przykład S') wykreśla linię zamkniętą, zwaną kardioidą. Oznaczmy ją symbolem K₁.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Jaka jest długość K₁? Jakie jest pole obszaru ograniczonego tą linią?

Aby to zbadać, rozważmy n-kąty foremne W_n wpisane w koło o promieniu R. (Ograniczymy się tylko do parzystych n.) Po W_n toczymy taki sam wielokąt W_n'. W czasie ruchu ustalony wierzchołek S'' toczącego się wielokąta W_n', zakreśla pewną linię. Oznaczmy ją symbolem K₁ⁿ.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Widać, że pola obszarów ograniczonych liniami K₁ⁿ coraz lepiej przybliżają pole obszaru ograniczonego kardioidą K₁.

Dalej jest trudno i to z dwóch powodów. Nie jest łatwo pokazać, że:
  - suma w powyższym nawiasie jest prawie równa 4nR/, dla dużych n,
  - długość kardioidy K₁ jest przybliżana przez długości linii K₁ⁿ.

Odnotujmy zatem tylko, że długość kardioidy K₁ jest równa  16R.

Uwaga 1. Połowa długości kardioidy jest równa długości jednego okresu cykloidy - linii, jaką wykreśla punkt koła toczącego się po prostej. Również połowa pola obszaru ograniczonego kardioidą jest równa polu obszaru pod jednym okresem cykloidy. To nie może być przypadkowa zbieżność wyników. Trzeba to będzie kiedyś zbadać.

 

---

 

Niech po kole o promieniu R toczy się (bez poślizgu) odcinek AB o długości równej połowie obwodu koła, czyli R. Ustalony koniec odcinka (na przykład A) wykreśla linię zamkniętą o kształcie przypominającym kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K₂.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Jaka jest długość K₂? Jakie jest pole obszaru ograniczonego tą linią?

Aby to zbadać, rozważmy n-kąty foremne W_n wpisane w koło o promieniu R. (Ograniczymy się tylko do parzystych n.) Po W_n toczymy odcinek A'B' o długości równej połowie obwodu wielokąta W_n. W czasie ruchu koniec A' toczącego się odcinka zakreśla pewną linię. Oznaczmy ją symbolem K₂ⁿ.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Długość badanej linii K₂ i pole obszaru przez nią ograniczonego są przybliżane przez długości linii K₂ⁿ i pola obszarów ograniczanych przez K₂ⁿ. Jakie są te długości i pola?

 

---

 

Niech B oznacza figurę w kształcie boiska, tzn prostokąt 2R × H z doklejonymi dwoma półkolami o średnicach równych 2R. Niech po B toczy się (bez poślizgu) kopia B. Ustalony punkt brzegu toczącego się B wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K₃.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Nie będziemy badać długości K₃, ani pola obszaru ograniczonego tą linią.

Zauważmy tylko, że w przeciwieństwie do K₁ i K₂ linia ta ma dwa 'zagięcia' (różne od S), tym większe, im większe jest H.
Jaki jest kąt tych 'zagięć'? (Na rysunku można znaleźć podpowiedź.)

 

---

 

Niech T oznacza figurę będącą sumą trzech wycinków kół (szóste części całych kół) o promieniach R. Jest to tak zwany trójkąt Reuleaux będący przykładem figury o stałej szerokości.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Niech po T toczy się (bez poślizgu) kopia T. Ustalony 'wierzchołek' toczącego się T (na przykład S') wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K₄.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Nie będziemy badać długości K₄, ani pola obszaru ograniczonego tą linią.

Zauważmy tylko, że choć T ma trzy punkty 'zagięcia', to utworzona linia nie ma takich zagięć (za wyjątkiem punktu S).
Zadziwiające?

 

---

 

Niech T^m oznacza figurę będącą sumą m wycinków kół o promieniach R przedstawionych na poniższym rysunku. Jest to także przykład figury o stałej szerokości.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Niech po T^m toczy się (bez poślizgu) kopia T^m. Ustalony 'wierzchołek' toczącego się T^m wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę. Oznaczmy ją symbolem K₄^m.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Zauważmy, że choć T^m ma m punktów 'zagięć', to utworzona linia nie ma 'zagięć' (za wyjątkiem punktu S).
Zadziwiające?

 

---

 

Niech T^m,r oznacza figurę będącą sumą 2m wycinków kół o promieniach R i r przedstawionych na poniższym rysunku. Jest to kolejny przykład figury o stałej szerokości.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Gdy po T^m,r toczy się bez poślizgu kopia T^m,r, to ustalony punkt brzegu toczącego się T^m,r wykreśla linię zamkniętą przypominającą kardioidę.

 

Rysunek utworzony w Geogebrze

 

Ładne? 

 

---

---