Zoom, zoom, zoom... i twierdzenia

Data ostatniej modyfikacji:
2009-04-23
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
funkcje
geometria syntetyczna
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą

Działanie operatora Hatchinsona można obejrzeć w poprzednim tekście na ten temat (tutaj zakładamy, że Czytelnik obejrzał i zrozumiał wiele przykładów działania takich operatorów). Można też skorzystać z 'Zoomownika' obok, (przestawisz go chwytając za niebieski pasek). Teraz zastanowimy się nad tym 'co widać dalej'. Co widać nie na obrazkach, ale poza nimi, co widać 'w nieskończoności'.

Będziemy badali własności operatorów Hatchinsona postaci

H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) ... JPnsn(A) ,
gdzie JPksk oznaczają jednokładności o środkach Pk i skalach sk, 0 < sk < 1, k=1,2,...,n.

Uwaga (dla nauczycieli)

Na początek zauważmy na przykładzie 'uszczelki', że

zaczynając od koła:

od równoległoboku:

  

lub od jakiejkolwiek innej figury początkowej, dostajemy 'w nieskończoności' stale tę samą figurę.

Figura ta zależy więc tylko od jednokładności, czyli od środków: P1, P2, P3 i skal: s1, s2, s3, operatora H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) JP3s3(A).

Tak jest również w innych przykładach. Graniczna figura, powstała 'po wykonaniu nieskończenie wielu' powtórzeń (iteracji) operatora Hatchinsona, nazywana jest atraktorem tego operatora. Oznaczymy ją symbolem H0 . Mówi o tym następujące twierdzenie:

Twierdzenie A.   Niech H będzie dowolnym operaterem Hatchinsona (jak na wstępie).
Istnieje figura H0 taka, że dla dowolnej (domkniętej i ograniczonej) figury początkowej A ciąg iteracji A, H(A), H(H(A)), H(H(H(A))),... jest zbieżny do tej figury H0.

Twierdzenie B.   Dla dowolnego operatora Hatchinsona i dowolnej figury A mamy:
jeśli A zawiera figurę H(A), to A zawiera również atraktor H0 i H(A) zawiera atraktor H0.

Uwaga (dla nauczycieli)

Twierdzenie C.   Dla dowolnego operatora Hatchinsona i dowolnej figury A mamy:
jeśli A = H(A), to H0 = A.

Dowód

Badając różne przykłady, widzimy że nie zawsze powstają piękne 'dziurawe' figury, czasami powstają kształty proste, dobrze znane ze szkoły. Poniżej będziemy badać, od czego to zależy. Chcemy znaleźć warunki, przy których atraktor operatora Hatchinsona jest prosty. Wtedy (pośrednio) zbadamy, kiedy jest 'ładny', tzn. skomplikowany.

Zaczniemy od twierdzeń na temat operatora H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) zbudowanego z dwóch jednokładności o środkach P1, P2.

Tw. 2a.   Niech H(A) = JP11/2(A) JP21/2(A).
Wtedy H0 = P1P2 (czyli atraktor H0 jest odcinkiem P1P2 ).

Dowód

 Tw. 2b.   Niech H(A) = JP13/4(A) JP21/4(A).
Wtedy H0 = P1P2.

Dowód

 Tw. 2c.   Niech H(A) = JP1s(A) JP21 - s(A).
Wtedy H0 = P1P2.

Dowód

Tw. 2d.   Niech H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A)  i s1 + s2 1.
Wtedy H0 = P1P2.

Dowód

Tw. 2e.   Niech H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A)  i s1 + s2 < 1.
Wtedy H0 nie jest odcinkiem, jest pewną częścią odcinka P1P2.

Dowód

Tw. 2.   Niech H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A).
Wtedy H0 jest odcinkiem P1P2 wtedy i tylko wtedy, gdy s1 + s2 1.

Dowód

Zatem dla H(A) = JP13/4(A) JP21/3(A), zaczynając od trójkąta (lub czegokolwiek innego), dostajemy odcinek P1P2 (choć na pierwszy rzut oka tego nie widać).

 


 
 
 
Przeanalizujmy działanie operatorów H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) JP3s3(A) zbudowanych z trzech jednokładności o środkach P1, P2, P3 tworzących trójkąt.

Tw. 3a.   Niech H(A) = JP11/2(A) JP21/2(A). JP31/2(A).
Wtedy H0 nie jest trójkątem P1P2P3.

Dowód

Tw. 3b.   Niech H(A) = JP12/3(A) JP22/3(A). JP32/3(A).
Wtedy H0 jest trójkątem P1P2P3.

Dowód

Tw. 3c.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A). JP3s(A).
Wówczas H0 jest trójkątem P1P2P3 wtedy i tylko wtedy, gdy s 2/3.

Dowód

Tw. 3.   Niech H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) JP3s3(A).
Wówczas H0 jest trójkątem P1P2P3 wtedy i tylko wtedy, gdy s1 + s2 + s3 2.

Dowód (tylko w przypadku, gdy s1 + s2 > 1)

 


Przeanalizujmy teraz operatory H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) JP3s3(A) JP4s4(A) zbudowane z czterech jednokładności o środkach P1, P2, P3, P4, będą kolejnymi wierzchołkami czworokąta wypukłego P1P2P3P4. Tym razem twierdzenia podamy w wersji niekompletnej mając nadzieję, że Czytelnik znajdzie przyjemność w samodzielnym odkryciu tezy.

Tw. 4a.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A) JP4s(A), gdzie P1P2P3P4 jest kwadratem.
Wówczas H0 jest kwadratem P1P2P3P4 wtedy i tylko wtedy, gdy s

Wskazówka

Tw. 4b.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A) JP4s(A), gdzie P1P2P3P4 jest równoległobokiem.
Wówczas H0 jest równoległobokiem P1P2P3P4 wtedy i tylko wtedy, gdy s

Wskazówka

Tw. 4c.   Niech H(A) = JP1s1(A) JP2s2(A) JP3s3(A) JP4s4(A), gdzie P1P2P3P4 jest kwadratem.
Wówczas H0 jest kwadratem P1P2P3P4 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą (wszystkie) nierówności:  

Wskazówka

Tw. 4d.   Niech H(A) = JP11/2(A) JP21/2(A) JP31/2(A) JP41/2(A).
Wówczas H0 jest czworokątem P1P2P3P4 wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt P1P2P3P4 jest  

Wskazówka

 


Na koniec przedstawimy kilka trochę trudniejszych zadań.

Tw. Ta.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A) JP4s(A), gdzie czworokąt P1P2P3P4 jest trapezem prostokątnym o podstawach długości 2 i 1 i wysokości równej 2.
Wówczas H0 jest trapezem P1P2P3P4 wtedy
i tylko wtedy, gdy s  

Wskazówka

Tw. T.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A) JP4s(A), gdzie czworokąt P1P2P3P4 jest trapezem o podstawach długości a i b gdzie a > b.
Wówczas H0 jest trapezem P1P2P3P4 wtedy i tylko wtedy, gdy s  

Wskazówka

Tw. Wn.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A) ... JPns(A), gdzie wielokąt P1P2P3...Pn jest wielokątem foremnym.
Wówczas H0 jest wielokątem P1P2P3...Pn wtedy i tylko wtedy, gdy s  

Wskazówka

Tw. Pa.   Niech H(A) = JP1s(A) JP2s(A) JP3s(A), gdzie P3 jest środkiem odcinka P1P2.
Wówczas H0 jest odcinkiem P1P2 wtedy i tylko wtedy, gdy s  

Tw. Pb.   Niech H(A) = JP11/3(A) JP21/3(A) JP31/3(A).
Wówczas H0 jest odcinkiem P1P2 wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Powrót na górę strony