Prostokrąg (1)

Data ostatniej modyfikacji:
2009-04-20
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Owal - taki jak na rysunku obok - wygląda podobnie do okręgu - nie ma 'kantów'. W matematyce 'rozdeptany okrąg' (spłaszczony lub wydłużony) nazywany jest elipsą i ma precyzyjną definicję (jeden ze sposobów zdefiniowania elipsy polega na sprecyzowaniu co to znaczy 'rozdeptac' lub 'spłaszczyć'). Jednak tu nie będziemy zajmować się elipsami. Zbadamy

czy owal z rysunku można zbudować z kawałków okręgów.

Okrąg składa się oczywiście z czterech ćwiartek okręgu. Z czterech ćwiartek, ale nie tego samego okręgu, można zbudować owal .

Jak to zrobić?





Taki owal nazwijmy prostokręgiem o promieniach 3 i 5.

Widać, że prostokrąg o promieniach r1, r2, ( r1 < r2 ) ma:

  obwód = ,

      pole =
             = .

Można to przedstawić trochę inaczej:

  obwód = ,

      pole = .

Można powiedzieć, że:
obwód prostokręgu jest taki, jak okręgu o promieniu będącym średnią arytmetyczną promieni prostokręgu;
pole prostokręgu jest równe polu koła o promieniu będącym średnią kwadratową promieni prostokręgu pomniejszonemu o pole kwadratu o boku równym różnicy promieni prostokręgu.


Powyższe wzory wydają się oczywiste... dopóki nie popatrzymy na .

Na czym polegał błąd?

Trzeba zatem na nowo obliczyć pole.
Jak to zrobić?

Mamy nowy rachunek:

      pole = .

Zaskakujące? Wynik ten sam, zatem co było błędnego?

Błędne było rozumowanie.
Warto sprawdzić raz jeszcze, że to drugie rozumowanie jest poprawne również w przypadku pierwszym, tj. gdy kwadrat jest schowany (zawarty) w prostokręgu.
Ponadto zauważmy, że wzory (nie rozumowania) na obwód i pole są poprawne zarówno wtedy, gdy r1 < r2 jak i wtedy, gdy r1 > r2.
A czy są poprawne w przypadku r1 = r2? Co to za prostokrąg?


Dla wytchnienia rozwiążmy zadanie.

ZADANIE. Dla jakiej wartości r2 większego promienia

prostokręgu (o promieniach r1, r2) dwa środki ćwiartek okręgów leżą na brzegu prostokręgu?

Odpowiedź:


Jeśli mówimy, że prostokrąg ma promienie ( r1 < r2 ), to można też powiedzieć, że ma dwie średnice: dużą i małą. Oczywiście są one prostopadłe.

Nietrudno wyznaczyć ich długości.

duża średnica ,

mała średnica .

Czy faktycznie duża średnica jest dłuższa niż mała?
Przekształcając powyższe wzory, zobaczymy to wyraźnie:

duża średnica ,

mała średnica .


Jeśli w prostokąt można wpisać okrąg, to... jest on kwadratem. Jednak w wiele prostokątów (nie będących kwadratami) można wpisać prostokręgi, na przykład zaczynając 'od tyłu' - można narysować jakiś prostokrąg i poprowadzić proste prostopadłe do jego średnic; dostaniemy prostokąt w który wpisany jest prostokrąg (patrz rys.).

Naturalne jest zatem pytanie:

Czy w każdy prostokąt można wpisać prostokrąg?

Zajmiemy się teraz tym problemem.



Ten fragment dostępny jest w zasadzie tylko dla osób powyżej gimnazjum.

Popatrzmy na stosunek długości średnicy dłuższej do krótszej w przypadku, gdy krótszy promień prostokręgu ma długość r1 = 1:

   

i... nic nie widać. Zmieńmy jeszcze oznaczenie. Niech x = r2.
Wtedy ten stosunek opisany jest wzorem

    .

Można zobaczyć tu funkcję homograficzną, czyli o wykresie będącym hiperbolą, bowiem jest ona postaci

    .

Gdy za x będziemy wstawiać duże liczby, np. x = 1000, x =1000000 i jeszcze większe, widać, że ten iloraz jest prawie równy

    .

To oznacza, że stosunek długości średnic rośnie wraz ze wzrostem stosunku długości promieni prostokręgu oraz że ten iloraz jest ograniczony przez liczbę .

Co więcej, wynika stąd

WNIOSEK. W prostokąt można wpisać prostokrąg wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek dłuższego do krótszego boku prostokąta jest mniejszy od .

Zaskakujące?

Jak?

W tym rzecz, że Pan nie udowodnił, że prostokrąg jest elipsą. Rysunek jeszcze wszystkiego nie wyjaśnia. Pozdrawiam.

Powrót na górę strony