Prostokrąg (1)

Taki owal nazwijmy prostokręgiem o promieniach 3 i 5.

Widać, że prostokrąg o promieniach r₁, r₂, ( r₁ < r₂ ) ma:

  obwód = $\frac{1}{2}\cdot 2\pi r_1+\frac{1}{2}\cdot 2\pi r_2 = \pi(r_1+r_2)$,

      pole = $\frac{1}{2}\cdot\pi r_1^2+\frac{1}{2}\cdot\pi r_2^2-(r_2-r_1)^2=$
             = $\frac{1}{2}\pi (r_1^2+r_2^2)-(r_2-r_1)^2$.

Można to przedstawić trochę inaczej:

  obwód = $2\pi$ ,

      pole = $\frac{1}{2}\pi$ $-(r_2-r_1)^2$.

Można powiedzieć, że:
obwód prostokręgu jest taki, jak okręgu o promieniu będącym średnią arytmetyczną promieni prostokręgu;
pole prostokręgu jest równe polu koła o promieniu będącym średnią kwadratową promieni prostokręgu pomniejszonemu o pole kwadratu o boku równym różnicy promieni prostokręgu.

Powyższe wzory wydają się oczywiste... dopóki nie popatrzymy na .

Trzeba zatem na nowo obliczyć pole.
Jak to zrobić?

Mamy nowy rachunek:

      pole = $2\cdot\left(\frac{1}{4}\pi r_1^2+\frac{1}{4}\pi r_2^2\right)-2\cdot\left(\frac{1}{2}(r_2-r_1)^2\right)=\frac{1}{2}\pi\left(r_1^2+r_2^2\right)-\left(r_2-r_1\right)^2$.

Zaskakujące? Wynik ten sam, zatem co było błędnego?

Błędne było rozumowanie.
Warto sprawdzić raz jeszcze, że to drugie rozumowanie jest poprawne również w przypadku pierwszym, tj. gdy kwadrat jest schowany (zawarty) w prostokręgu.
Ponadto zauważmy, że wzory (nie rozumowania) na obwód i pole są poprawne zarówno wtedy, gdy r₁ < r₂ jak i wtedy, gdy r₁ > r₂.
A czy są poprawne w przypadku r₁ = r₂? Co to za prostokrąg?

Dla wytchnienia rozwiążmy zadanie.

ZADANIE. Dla jakiej wartości r₂ większego promienia

prostokręgu (o promieniach r₁, r₂) dwa środki ćwiartek okręgów leżą na brzegu prostokręgu?

Odpowiedź: [tex] r_2=(2+\sqrt{2})\cdot r_1 [/tex]

Jeśli mówimy, że prostokrąg ma promienie ( r₁ < r₂ ), to można też powiedzieć, że ma dwie średnice: dużą i małą. Oczywiście są one prostopadłe.

Nietrudno wyznaczyć ich długości.

duża średnica $=2\cdot r_1+\sqrt{2}(r_2-r_1)$,

mała średnica $=2\cdot\left(r_1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}(r_2-r_1)\right)$.

Czy faktycznie duża średnica jest dłuższa niż mała?
Przekształcając powyższe wzory, zobaczymy to wyraźnie:

duża średnica $=2\cdot \frac{r_1+r_2}{2}+(\sqrt{2}-1)\cdot(r_2-r_1)$,

mała średnica $=2\cdot \frac{r_1+r_2}{2}-(\sqrt{2}-1)\cdot(r_2-r_1)$.

Jeśli w prostokąt można wpisać okrąg, to... jest on kwadratem. Jednak w wiele prostokątów (nie będących kwadratami) można wpisać prostokręgi, na przykład zaczynając 'od tyłu' - można narysować jakiś prostokrąg i poprowadzić proste prostopadłe do jego średnic; dostaniemy prostokąt w który wpisany jest prostokrąg (patrz rys.).

Naturalne jest zatem pytanie:

Zajmiemy się teraz tym problemem.

Popatrzmy na stosunek długości średnicy dłuższej do krótszej w przypadku, gdy krótszy promień prostokręgu ma długość r₁ = 1:

    $\frac{r_1+r_2+(\sqrt{2}-1)(r_2-r_1)}{r_1+r_2-(\sqrt{2}-1)(r_2-r_1)}=\frac{r_2+1+(\sqrt{2}-1)(r_2-1)}{r_2+1-(\sqrt{2}-1)(r_2-1)}$

i... nic nie widać. Zmieńmy jeszcze oznaczenie. Niech x = r₂.
Wtedy ten stosunek opisany jest wzorem

    $\frac{x+1+(\sqrt{2}-1)(x-1)}{x+1-(\sqrt{2}-1)(x-1)}=\frac{\sqrt{2}x+2-\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})x+\sqrt{2}}$.

Można zobaczyć tu funkcję homograficzną, czyli o wykresie będącym hiperbolą, bowiem jest ona postaci

    $y=\frac{ax+b}{cx+d}$.

Gdy za x będziemy wstawiać duże liczby, np. x = 1000, x =1000000 i jeszcze większe, widać, że ten iloraz jest prawie równy

    $\frac{\sqrt{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{x}}{2-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{x}}\approx\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$.

To oznacza, że stosunek długości średnic rośnie wraz ze wzrostem stosunku długości promieni prostokręgu oraz że ten iloraz jest ograniczony przez liczbę $1+\sqrt{2}$.

Co więcej, wynika stąd

WNIOSEK. W prostokąt można wpisać prostokrąg wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek dłuższego do krótszego boku prostokąta jest mniejszy od $1+\sqrt{2}$.

Zaskakujące?