Jak tego dowieść - krótka opowieść

Jest to książka dla laików zainteresowanych matematyką prezentująca w przystępny sposób dowody 30  faktów matematycznych z różnych działów. Zaprezentowano w niej trzy podstawowe typy dowodów: wprost, przez sprowadzenie do sprzeczności oraz indukcyjne. Szkoda, że zabrakło przykładów niezwykle intrygujących dowodów egzystencjalnych, choć program licealny daje kilka okazji do ich wprowadzenia. Zbyt mało miejsca poświęcono też ogólnej analizie logicznej różnych metod dedukcyjnego uzasadniania faktów, np. nie wyjaśniono różnicy pomiędzy dwoma typami (często mylonymi) dowodów "nie wprost": przez sprowadzenie do sprzeczności i do niedorzeczności.

Książka w istotny sposób uzupełnia formalne wykształcenie matematyczne absolwentów szkół średnich, w których dowody są często traktowane po macoszemu ze względu na to, że na egzaminie maturalnym wymaga się tylko umiejętności stosowania twierdzeń, a nie ich dowodzenia. Nie ma jednak lepszego sposobu pokazania piękna matematyki i nauczenia się trudnej sztuki dedukcji (którą już na egzaminie maturalnym trzeba się wykazać, choćby w ograniczonym zakresie) niż analiza prostych a jednocześnie błyskotliwych dowodów ważnych matematycznych faktów, dowodów stanowiących prawdziwe perełki w koronie królowej nauk.

Do zrozumienia większości z nich wystarczy znajomość materiału gimnazjalnego, w kilku potrzebne jest obycie z materiałem szkoły średniej. Rozumowania przeprowadzone są w bardzo przystępny sposób. Pewnym mankamentem może być wybór twierdzeń dokonany przez autora spośród tych najbardziej spektakularnych ale i najbardziej znanych (żeby nie powiedzieć "oklepanych") - ot takie evergreeny popularyzacji matematyki, o których wielokrotnie pisano w wielu miejscach. Dlatego bardziej wymagający i zainteresowani matematyką uczniowie lub nauczyciele poszukujący nowych pomysłów na zajęcia podczas kółek lub obozów matematycznych mogą poczuć się rozczarowani, że nie znajdą w książce nic nowego, czego by już wcześniej nie znali lub nie przerabiali. Szkoda też, że dokonując wyboru autor pominął kilka zagadnień (choć sam korzysta z nich w książce), które występują w szkolnym programie nauczania matematyki, a jednocześnie mają niezwykle ciekawe i kształcące dowody. Ale nie da się przecież zadowolić każdego.

Pewnym utrudnieniem jest też panujący w książce chaos, gdyż dowodów w żaden sposób nie pogrupowano: ani typami rozumowań, ani działami matematyki, ani poziomem wymaganej wiedzy odbiorcy, ani nawet na te pokrywające się z programem szkolnym i znacznie poza niego wykraczające, a mogłoby to wielu osobom ułatwić pracę z tekstem, gdyż bez przestudiowania danego dowodu (co nie jest jednak zbyt uciążliwe, bo są one dość krótkie) nie zawsze jest to oczywiste zwłaszcza dla mniej wyrobionego matematycznie czytelnika. Spróbujmy chociaż częściowo naprawić tę usterkę.

Wśród prezentowanych w książce są m.in. twierdzenia z zakresu:

elementarnej geometrii

• suma kątów wewnętrznych trójkąta,
• wzór na pole trapezu,
• liczba przekątnych n-kąta,
• twierdzenia Pitagorasa i Talesa,
• trysekcja kąta metodą Archimesesa,
• konstruowalność pięciokąta foremnego,
• wzory na obwody wielokątów foremnych wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

trygonometrii trójkąta

• twierdzenia sinusów i kosinusów,
• wartość sinusa 36°,
• wzory redukcyjne,

elementarnej teorii liczb

• wzór na trójki pitegorejskie,
• wzór na wyrazy trójkąta Pascala,
• wzór na sumę ciągu arytmetycznego,
• istnienie dowolnie dużych zbiorów kolejnych liczb pierwszych,

teorii liczb rzeczywistych

• zbieżność szeregu geometrycznego,
• rozbieżność szeregu harmonicznego i odwrotności liczb pierwszych,
• niewymierność liczb √2 i e,
• zbieżność ciągów liczb wymiernych do pi,

teorii mnogości

• nieskończoność zbioru liczb pierwszych,
• przeliczalność zbioru liczb wymiernych,

• nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych,
• nieprzeliczalność punktów odcinka,
• przeliczalność zbioru liczb algebraicznych.