Czy wszystkie wielościany są sztywne, tzn. czy raz sklejone przybierają jedyny możliwy kształt? A jeśli istnieją "wielościany ruchome", to co to znaczy? Przecież nie poruszają się same. Muszą przyjmować jakieś położenie równowagi, więc dlaczego i w jaki sposób są ruchome?
Jeśli wielokąt wykonamy ze sztywnych patyczków połączonych w wierzchołkach ruchomymi zawiasami, to taki wielokąt (poza trójkątem) nie będzie sztywny. Można go będzie w sposób płynny (matematycy powiedzą że w sposób "ciągły") deformować, uzyskując różne inne kształty, np. kwadrat można będzie zdeformować do rombu. Ze wszystkich tak wykonanych wielokątnych szkieletów tylko trójkąt jest sztywny. Analogiczny problem możemy sformułować dla wielościanów.
Gdybyśmy zbudowali model wielościanu o sztywnych ścianach połączonych wzdłuż krawędzi ruchomymi zawiasami, to czy moglibyśmy bez odkształcania ścian zdeformować ten wielościan w sposób ciągły do innego kształtu?
W 1766 roku szwajcarski matematyk Leonhard Euler postawił hipotezę, że każdy wielościan jest sztywny. W 1813 roku francuski matematyk Augustin Louis Cauchy wykazał, że jest to prawdą dla wielościanów wypukłych. W swoim dowodzie popełnił on jednak błąd, ponieważ nie rozważył wszystkich przypadków. Pomyłka ta pozostała niezauważona przez ponad 50 lat, jednak później dowód uzupełniono.
W XX wieku, choć wydaje się to zaskakujące, znaleziono przykłady ruchomych wielościanów wklęsłych, które nazwano fleksorami. Do dziś znane są tylko dwa takie przykłady. Pierwszy odkrył w roku 1977 amerykański matematyk Robert Connelly, a drugi (znacznie prostszy) w kilka miesięcy później - niemiecki matematyk Klaus Steffen.
Wykonanie modeli fleksorów z kartonowej siatki nie jest trudne. Klikając w odpowiednią siatkę, można pobrać ją w większej skali w pliku pdf.
Oto siatka i model wielościanu Conellego.
Oto siatka i model wielościanu Steffena.
Tak wykonanymi modelami rzeczywiście można (w ograniczonym zakresie) poruszać w sposób ciągły i bez deformowania ich ścian. Podczas tego ruchu nie zmienia się objętość wielościanu tylko jego kształt. Można to obejrzeć na poniższych filmach.
