Najdłuższy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych

Data ostatniej modyfikacji:
2010-04-14
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr

Nowy rekordowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych odkrył w styczniu 2007 roku wrocławski matematyk dr Jarosław Wróblewski (na zdjęciu) z Instytutu Matematycznego Uniwersytetu Wrocławskiego. Ciąg ten składa się z 24 wyrazów, z których pierwszy to 468395662504823, a różnica to 45872132836530.

Liczby pierwsze wśród liczb naturalnych rozłożone są dość chaotycznie, a ciągi arytmetyczne - bardzo regularnie, w równych odstępach. Matematycy od dawna poszukiwali ciągów równomiernie rozmieszczonych liczb pierwszych. Oto zestawienie najważniejszych wyników.

1) Nie istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny złożony z liczb pierwszych.
Uzasadnienie: Jeżeli liczba pierwsza p jest wyrazem tego ciągu (a r jego różnicą), to są nimi również liczby p+pr, p+2pr, p+3pr itd. a one są podzielnie przez p, więc nie mogą być pierwsze.

2) Istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych długości 3.
Twierdzenie to udowodnił w 1939 r. duński matematyk Johannes van der Corput. Przez następnych 65 lat nie udało się podobnego faktu wykazać dla ciągów czterowyrazowych i dłuższych.

3) Istnieją dowolnie długie (ale skończone) ciągi arytmetyczne złożone z liczb pierwszych.
Taką hipotezę sformułowali jeszcze w 1770 r. Lagrange i Waring, ale udowodnili ją dopiero w 2004 r. dwaj młodzi matematycy: Brytyjczyk Ben Green i Australijczyk chińskiego pochodzenia Terence Tao. Jest to tzw. dowód egzystencjalny - nie podaje sposobu konstruowania takich ciągów, a jedynie stwierdza ich istnienie.

4) Dla każdego k istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych długości k złożonych z liczb pierwszych.
Uzasadnienie: Wynika to wprost z twierdzenia Greena-Tao. Na przykład dla k = 4 możemy uwzględnić także wszystkie dłuższe ciągi, a skoro istnieją dowolnie długie, to czterowyrazowych musi być nieskończenie wiele.

5) Najdłuższy znany ciąg kolejnych liczb pierwszych tworzących ciąg arytmetyczny liczy 10 wyrazów.
Ciąg ten znaleziono w 1998 r. Zaczyna się liczbą o 93 cyfrach: 100 9969724697 1424763778 6655587969 8403295093 2468919004 1803603417 7589043417 0334888215 9067229719, a jego różnica wynosi 210. Szacuje się, że aby poprawić ten rekord, potrzebne będzie wykorzystanie procesorów o szybkości trylion razy większej niż obecna.

6) Najdłuższy znany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych liczy 24 wyrazy.
Poprzedni rekord stanowił ciąg 23-wyrazowy znaleziony w 2004 r. Jego najmniejszy wyraz ma 15 cyfr: 6 211 383 760 397 + 44 546 738 095 860 · n, gdzie n\in{0, 1, ..., 22}.

Nowy rekordowy ciąg odkrył w styczniu 2007 wrocławski matematyk Jarosław Wróblewski. Ciąg składa się z 24 wyrazów, z których pierwszy to 468 395 662 504 823, a różnica wynosi 205619 · 23#. Symbol n# (czytaj: en primorial) oznacza iloczyn liczb pierwszych nieprzekraczających n.

*******************************************

468395662504823 + 205619 · 23# · n, gdzie n\in{0, ..., 23}

*******************************************

Uwaga! Są już znane dwa przykłady ciągów 25-wyrazowych i jeden 26-wyrazowy. O tych odkryciach czytaj tutaj.

Powrót na górę strony