2007 i podzielność

Znane są dość skomplikowane wzory na sumy potęg kolejnych liczb naturalnych, np.

[TEX]1^7+2^7+3^7+\ldots+n^7=\frac{1}{8}n^8+\frac{1}{2}n^7+\frac{7}{12}n^6-\frac{7}{24}n^4+\frac{1}{12}n^2[/TEX]

Jednak takie wzory nie będą potrzebne do rozwiązania przedstawionych tu zadań dotyczących podzielności. Można znaleźć radykalnie prostsze rozumowania.

UWAGA.   Warto zajrzeć do testu (i uzyskać wynik > 50%) dla 'oswojenia' się z takimi sumami.

ZADANIE 3.  

a) Czy suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 3?

b) Czy sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 3?

c) Czy kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 3?

d) Czy suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 3?

e) Czy kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 3?

Do których zadań pasują poniższe 'napisy'? (1+2+3+...+2007)3 (12+22+32+...+20072)3 (20071+20072+20073+...+20072007)2 (12+22+32+...+20072)2 (13+23+33+...+20073)2

f) Czy sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 3?

a') Dla jakich liczb naturalnych n suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 3?

b')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 3?

c')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 3?

d') Dla jakich liczb naturalnych n suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 3?

e')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 3?

f')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 3?

 

ZADANIE 4.  

a) Czy suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 4?

b) Czy sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 4?

c) Czy kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 4?

d) Czy suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 4?

e) Czy kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 4?

f) Czy sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 4?

a') Dla jakich liczb naturalnych n suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 4?

b')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 4?

c')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 4?

d') Dla jakich liczb naturalnych n suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 4?

e')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 4?

f')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 4?

 

ZADANIE 5.  

a) Czy suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 5?

b) Czy sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 5?

c) Czy kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 5?

d) Czy suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielna przez 5?

e) Czy kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 5?

f) Czy sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od 2007 jest podzielny przez 5?

a') Dla jakich liczb naturalnych n suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 5?

b')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 5?

c')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 5?

d') Dla jakich liczb naturalnych n suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielna przez 5?

e')  Dla jakich liczb naturalnych n kwadrat sumy kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 5?

f')  Dla jakich liczb naturalnych n sześcian sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od n jest podzielny przez 5?

 

ZADANIE* 20. Dla jakich liczb naturalnych k < 21

a) suma kolejnych liczb naturalnych nie większych od k jest podzielna przez k?

b) suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie większych od k jest podzielna przez k?

c) suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od k jest podzielna przez k?

d) kwadrat sumy sześcianów kolejnych liczb naturalnych nie większych od k jest podzielny przez k?