Trąbka Borsuka

etap I - klasy I-II

1. Klepsydra borsuka Tomka zawiera tyle ziarenek piasku, ile wynosi największa liczba siedmiocyfrowa podzielna przez 12, w zapisie której występują tylko cyfry 2 i 4, przy czym dwójek jest więcej niż czwórek. Jaka to liczba?

2. Sześć borsuków - Romek, Sylwek, Tomek, Bartek, Wojtek i Grześ - poszło na lody do cukierni. Borsuki ustawiły się w kolejce. Na ile sposobów mogły to zrobić?

3. Łasica Emilka urządza przyjęcie urodzinowe. Z tej okazji zakupiła wafelki do tortu w kształcie sześciokątów. Każdy z nich ma wszystkie kąty równe, a długości kolejnych boków wynoszą 1cm, 4 cm, 5 cm, 2 cm, 3 cm oraz 6 cm. Wiedząc że trójkąt równoboczny o boku 1 cm zajmuje 1 trąbkę kwadratową, oblicz, ile trąbek kwadratowych zajmuje jeden wafelek.

etap I - klasy III

1. Łasica Emilka podsłuchała dziś rozmowę borsuków gimnazjalistów, które mówiły o tym, ile zadań z pierwszej serii Trąbki Borsuka udało im się rozwiązać (seria liczy pięć zadań).
- Ja mam wszystkie zadania! - powiedział borsuk Marcin.
- Ja rozwiązałem o dwa zadania więcej niż Marcin! - rzucił borsuk Tymek.
- Romek ma więcej zadań niż Grześ. - stwierdził borsuk Sylwek.
- Grześ i Marcin mają razem dokładnie pięć zadań! - wykrzyknął borsuk Bartek.
- Rozwiązałem więcej zadań niż Sylwek. - powiedział borsuk Grześ.
- A ja rozwiązałem nieparzyście wiele zadań. - zakończył rozmowę borsuk Romek.
Wiadomo, że każdy z borsuków rozwiązał inną liczbę zadań, Tymek i Bartek rozwiązali więcej zadań niż Sylwek, a liczby zadań rozwiązanych przez Grzesia i Marcina różnią się o więcej niż 1. Wiedząc że każdy z rozmówców kłamał, wywnioskuj, ile zadań rozwiązał każdy z nich.

2. Spośród liczb naturalnych od 1 do 10 000 wybierz taką, aby iloczyn tej liczby i liczby 1536 miał na końcu jak najwięcej zer. Ile jest takich liczb, przy których otrzymamy maksymalną liczbę zer?

3. Borsuk Romek i łasica Emilka mają pustą skarbonkę. Łasica Emilka codziennie wrzuca do niej pewną liczbę trąbek: pierwszego dnia dwie trąbki, drugiego cztery, trzeciego sześć, czwartego osiem itd. Borsuk Romek co drugi dzień potajemnie wyjmuje trąbki ze skarbonki. Pierwszego dnia wyjął jedną trąbkę, trzeciego dwie, piątego trzy, siódmego cztery itd. Po dwustu dniach otworzyli skarbonkę. Ile trąbek znaleźli w środku?

finał - klasy I-II, zadania testowe

1. Łasica Marta, borykając się z kryzysem finansowym, przez kolejne zimy zmniejszała wydatki na ogrzewanie swojej norki kolejno o 20%, 25% i 55%. O ile procent łącznie Marta zmniejszyła wydatki na ogrzewanie?
a) o 2.75     b) o 27     c) o 73     d) o 100%

2. Ile jest równa reszta z dzielenia liczby (12+1)·(22+1)·(32+1)·...·(20132+1) przez 3?
a) 0   b) 1   c) 2   d) 3

3. Czworokąt ma dwa boki długości 5 cm, a pozostałe dwa – długości 3 cm. Wówczas na pewno:
a) czworokąt ten jest równoległobokiem
b) każdy kąt tego czworokąta jest wypukły
c) czworokąt ten ma oś symetrii
d) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna

finał - klasy I-II, zadania otwarte

1. Borsuk Tomek handluje cukierkami. Pewnego dnia miał ich 2013 sztuk. Przez kolejne 6 dni sprzedaż przebiegała następująco: n-tego dnia (dla n = 1, 2, ..., 6) sprzedawał lub kupował dokładnie n cukierków, tzn. pierwszego dnia kupił lub sprzedał jeden cukierek, drugiego dnia kupił lub sprzedał dwa cukierki, trzeciego trzy itd. Okazało się, że pod koniec szóstego dnia miał ich o 5 więcej niż na początku pierwszego dnia. Na ile sposobów mogła przebiegać ta procedura?

2. Borsuk Wojtek, wykorzystując nieuwagę borsuka Bartka, narysował mu w zeszycie prostokąt ABCD. Oznaczył przez M, N środki boków BC, CD, a następnie naszkicował odcinki BN i DM, których punkt przecięcia podpisał jako P. Udowodnij, że kąty MAN i BPM mają równe miary.

3. Borsuk Ramirez określił działanie * w następujący sposób: dla każdej pary liczb rzeczywistych x, y niech x *y = x · y + x + y. Na przykład 2 * 5 = 2 · 5 + 2 + 5 = 17 oraz 100 * (−3) = 100 · (−3) + 100 + (−3) = −203. Udowodnij, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych a, b, c zachodzą równości:
a) a * b = b * a
b) a * (b *c) = (a * b) *c

Czy dla każdej liczby rzeczywistej a da się znaleźć taką liczbę rzeczywistą b, że a * b = 0?

finał - klasy III, zadania testowe

1. Borsuk Tomek mierzy odległości w dziwny sposób! Jeśli dwa punkty leżą na tej samej prostej przechodzącej przez punkt (0, 0), to mierzy ich odległość w zwykły sposób, a jeśli nie leżą, to dodaje ich odległości od punktu (0, 0). Na przykład odległość miedzy punktami (1, 2) i (2, 4) to √5, a odległość między punktami (1, 2) i (3, 2) to √5 + √13. Tomek stoi w punkcie (2, 2). Do którego z poniższych punktów ma najbliżej?
a) (-1, -1)   b) (1, 0)   c) (2, 2.1)   d) (0.5, 0.5)

2. W jakiej proporcji należy wymieszać 21% wodny roztwór octu z woda, aby otrzymać roztwór 3%?
a) 1:5   b) 1:6   c) 1:7   d) 1:8

3. Borsuk Romek zauważył, że niektóre funkcje f określone na zbiorze liczb całkowitych, które przyjmują wartości w zbiorze liczb całkowitych, mają następującą własność: dla każdych liczb a i b niekoniecznie różnych, zachodzi f(a) + f(b) = f(a + b). Nazwał tę własność 'własnością borsuka Romka' (w skrócie własność BR). Które z poniższych zdań na temat funkcji z własnością BR są prawdziwe?
1) Dla każdej takiej funkcji mamy f(0) = 0.
2) Może się zdarzyć, że f(2) = 2013.
3) Może się zdarzyć, że f(1) = f(2013).
4) Musi zachodzić f(2013) = f(-2013).
a) tylko 1 i 2   b) tylko 1, 2 i 3 c) tylko 1, 3 i 4   d) żadne z powyższych

finał - klasy III, zadania otwarte

1. Borsuk Karol nie był w szkole w dniu oddania prac klasowych z matematyki. Próbował dowiedzieć się od kolegów z klasy, jaką dostał ocenę. Niestety, jak to z borsukami i łasicami bywa, tylko niektóre zwierzaki powiedziały mu prawdę! Oto wypowiedzi znajomych Karola:
Wojtek: Dostałeś szóstkę!
Grześ: Wojtek kłamie.
Romek: Dostałeś trójkę.
Marta: Właśnie że nie! Ale dostałeś ocenę niższą niż cztery.
Emilka: Marta ma rację.
Wiadomo, że tylko dwa zwierzaki powiedziały Karolowi prawdę. Co dostał Karol ze sprawdzianu?

2. W zajęciach kółka matematycznego uczestniczy pewna liczba borsuków i nauczyciel. Nauczyciel ma o 18 lat więcej niż średnia arytmetyczna wieku wszystkich borsuków i o 16 lat więcej niż wynosi średnia arytmetyczna wieku borsuków wraz z nauczycielem. Ilu borsuków uczestniczy w kółku matematycznym?

3. Zbiór punktów płaszczyzny B nazwiemy borsuczym, jeśli dla każdego punktu ze zbioru B można narysować koło o środku w tym punkcie i takim promieniu (być może bardzo małym), że koło „nie wystaje” poza zbiór B (tzn. zawiera się w zbiorze B). Na przykład kwadrat bez punktów na jego obwodzie oraz koło bez brzegu są zbiorami borsuczymi, a trójkąt (z brzegiem) oraz odcinek nie są zbiorami borsuczymi. Udowodnij, że część wspólna dwóch zbiorów borsuczych jest zbiorem borsuczym.