Definicja
Niezmiennik topologiczny charakteryzujący powierzchnie. Liczba opisująca strukturę powierzchni (traktowanej jako przestrzeń topologiczną):[tex]\chi(g)=2 - 2g,{/tex]gdzie: g oznacza genus powierzchni (tzn. liczbę 'dziur' powierzchni).
Klasyczna definicja
Pierwotnie charakterystyka Eulera została zdefiniowana dla wielościanów jako $\chi$:$$\chi = W-K+S,$$gdzie:
W- liczba wierzchołków,
K - liczba krawędzi,
S - liczba ścian.
Uogólniona definicja
Każdą krawędź wielościanu można potraktować jako ścianę jednowymiarową, a każdy wierzchołek - jako ścianę zerowymiarową. Uogólnieniem pojęcia wielościanu na przestrzenie euklidesowe n-wymiarowe są wielotopy. Dla nich powyższy wzór przyjmuje ogólną postać:$$\chi = k_0 - k_1 + k_2 - ... + (-1)^{n-1} \cdot k_{n-1},$$gdzie ki to liczba ścian i-wymiarowych dla liczb naturalnych i mniejszych od wymiaru n rozpatrywanej przestrzeni.
Twierdzenie Eulera o wielościanach
Charakterystyka Eulera $\chi$ wielościanów wypukłych równa jest 2.
Na mocy twierdzenia, że charakterystyka Eulera jest niezmiennikiem topologicznym, można wnioskować: $\chi = 2$ dla dowolnej powierzchni homeomorficznej z wielościanem wypukłym (czyli takiej, którą można bez sklejania ani rozrywania przekształcić na wielościan wypukły).
Przykłady
- wstęga Möbiusa, butelka Kleina, powierzchnia boczna walca, torus mają charakterystyki Eulera równe 0;
- n-torus (obwarzanek z n dziurami) ma charakterystykę Eulera równą -2(n-1);
- płaszczyzna rzutowa ma charakterystykę Eulera równą 1.
