Twierdzenie tangensów

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-18
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
Pojęcia podstawowe 

Inna nazwa:
wzór Regiomontana

Sformułowanie:
W dowolnym trójkącie stosunek sumy do różnicy długości dwóch boków jest taki sam, jak stosunek tangensów połowy sumy i połowy różnicy przeciwległych kątów, tzn. zachodzi:

$$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan{\frac{\alpha + \beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha - \beta}{2}}} \ .$$

Dowód:
Powyższą zależność łatwo wykazać, korzystając z twierdzenia sinusów, z którego mamy:
a = 2Rsinα i b =  2Rsinβ. Podstawiając te wielkości do lewej strony wzoru, otrzymujemy:

$$\frac{a+b}{a-b} =  \frac {2R \sin \alpha + 2R \sin \beta}{2R \sin \alpha - 2R \sin \beta} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha - \sin \beta} \ . $$

Korzystając teraz ze wzorów na sumę i różnicę sinusów oraz z tożsamości $\tan x= \frac{\sin x}{\cos x}$, otrzymujemy dalej:

$$\frac {2 \sin {\frac {\alpha + \beta}{2}} \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}} {2 \cos {\frac {\alpha + \beta}{2}} \sin{\frac{\alpha - \beta}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\alpha + \beta}{2}}}{\tan{\frac{\alpha - \beta}{2}}} \ .$$

Historia
  • Niemiecki astronom i matematyk Regiomontanus w XV w. używał tego wzoru do obliczeń, które pomogły mu uporządkowac trygonometrię płaską i sferyczną oraz sporządzić tablice trygonometryczne.
Terminy pokrewne:

 

Powrót na górę strony