Autor:
Sebastian GuzDział matematyki:
topologia
Definicja:
Powierzchnia dwuwymiarowa powstała z prostokąta przez sklejenie jego dwóch przeciwległych brzegów po obróceniu jednego z brzegów o kąt półpełny.
Wstęga rzędu n:
Powierzchnia dwuwymiarowa powstała przez sklejenie dwóch przeciwległych boków prostokąta po obróceniu jednego z boków n razy o kąt półpełny, np. wstęga rzędu 0 to powierzchnia walca, wstęga rzędu 1 to wstęga Möbiusa. Wstęgi parzystych rzędów są dwustronne, wstęgi rzędów nieparzystych są jednostronne.
Własności:
- powierzchnia ograniczona, jednostronna (nieorientowalna), z brzegiem (niezawęźlona krzywa zamknięta równoważna topologicznie okręgowi);
- sklejenie jej brzegu prowadzi do powstania butelki Kleina;
- sklejenie dwóch wstęg Möbiusa brzegami również prowadzi do powstania butelki Kleina;
- do pokolorowania dowolnej mapy na wstędze Möbiusa tak, aby sąsiadujace kraje miały inne barwy potrzeba 7 kolorów (podobnie jak na torusie);
- rozcinając wstęgę Möbiusa wzdłuż linii środkowej (w połowie szerokości - tzw. równik wstęgi) otrzymamy jedną wstęgę (własność wykorzystywana przez iluzjonistów) czwartego rzędu ;
- rozcinając wstęgę Möbiusa wzdłuż linii niebędącą linią środkową otrzymamy dwie wstęgi, z których jedna jest wstęgą Möbiusa, a druga jest wstęgą czwartego rzędu;
- genus g wstęgi Möbiusa równa się 1;
- charakterystyka Eulera dla wstęgi Möbiusa wynosi 0;
Równania analityczne:
- parametryczne - jeżeli za równik wstęgi przyjmiemy okrąg o promieniu R umieszczony w płaszczyźnie Oxy tak, że środek okręgu znajdzie się w początku trójwymiarowego układu współrzędnych, zaś przez w oznaczymy połowę szerokości wstęgi, to wstęgę można sparametryzować:
$x(s,t)=(R+s\cdot \cos(t/2))\cos t$
$y(s,t)=(R+s\cdot \cos(t/2))\sin t$
$z(s,t)=s\cdot \sin (t/2)$
gdzie: $s \in [-w,w], \; t \in [0, 2\pi)$;
- kartezjańskie - przy powyższej parametryzacji równanie stopnia 3 wstęgi Möbiusa przybiera postać:
$-R^2 y + x^2 y + y^3 - 2Rxz - 2x^2 z - 2y^2 z + y z^2=0$
Historia i nazwa:
Opisana po raz pierwszy niezależnie przez Augusta Ferdynanda Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku. Ciekawym jest fakt, że Listing swoje odkrycia opublikował, a Möbius nie.
