Zad. 1. W czworokącie wszystkie boki i przekątne mają długości mniejsze niż 1 m. Wykaż, że da się ten czworokąt zmieścić w kole o promieniu 0,9 m.
Zad. 2. W wypukłym pięciokącie ABCDE zachodzi |AE|=|AD|, |AC|=|AB| oraz |∡DAC| = |∡AEB| + |∡ABE|. Wykaż, że bok CD jest dwa razy dłuższy niż środkowa AK trójkąta ABE.
Zad. 3. W prostokąt wpisano czworokąt (na każdym boku prostokąta leży jeden wierzchołek czworokąta). Wykaż, że obwód czworokąta jest nie mniejszy niż suma długości przekątnych prostokąta.
Zad. 4. (wolna amerykanka) W trójkącie ABC niech E i F będą punktami wspólnymi boków trójkąta z dwusiecznymi kątów odpowiednio A i B. Wykaż, że jeśli |AE|=|BF|, to |AC|=|CB|.
W ostatniej serii zadań w tej edycji Ligi maksymalną liczbę 30 punktów za zadania 1-3 otrzymali: Jacek Bagiński (nauczyciel matematyki, I LO Kraków), Włodzimierz Bąk (nauczyciel matematyki, I LO Opole), Michel Migas (student Wydziału MiNI, Politechnika Warszawska) i Sabina Sy (studentka nanotechnologii, Uniwersytet Jagielloński). Natomiast 20 punktów zdobył Arkadiusz Wróbel (student Wydziału MIiM, Uniwersytet Warszawski). Zadanie 4 (wolna amerykanka) poprawnie rozwiązali Jacek Bagiński, Włodzimierz Bąk, Michel Migas i Sabina Sy. Gratulujemy!
Najlepsze wyniki w Lidze z Geometrii Elementarnej w roku 2014/15 uzyskali (w nawiasie podajemy liczbę uzyskanych punktów na 270 możliwych):
- Jacek Bagiński i Włodzimierz Bąk (260 pkt.)
- Michel Migas (258 pkt.)
- Sabina Sy (210 pkt.)
- Agnieszka Borucka - uczennica, II LO Opole (174 pkt.)
- Iwona Gruszecka - nauczycielka matematyki, GM 28 Wrocław i Krzysztof Sobków - nauczyciel matematyki, II LO Opole (166 pkt.)
- Tadeusz Porzucek - emerytowany nauczyciel z Gostynia (158 pkt.)
- Anna Gudełajtis - uczennica, II LO Opole (154 pkt.)
- Arkadiusz Wróbel (138 pkt.)
- Michał Szymański - uczeń, II LO Opole (118 pkt.)
W konkurencji "wolnej amerykanki" najwięcej punktów w ciągu roku szkolnego 2014/15 zdobyli (w nawiasie podajemy liczbę uzyskanych punktów na 90 możliwych)::
- Włodzimierz Bąk i Michel Migas (90 pkt.)
- Jacek Bagiński (80 pkt.)
- Sabina Sy (68 pkt.)
- Tadeusz Porzucek (60 pkt.)
- Krzysztof Sobków (50 pkt.)
- Daria Bumażnik - uczennica, II LO Jelenia Góra i Arkadiusz Wróbel (30 pkt.)
Wszystkim serdecznie gratulujemy!
Zad. 1. Oznaczmy przez d największą odległość między wierzchołkami (np. między A i C). Wówczas czworokąt mieści się we wspólnej części kół o promieniu d i środkach w A i C. Z kolei ta wspólna część zawiera się w kole o promieniu d√3/2 i środku w połowie odcinka AC. Oczywiste jest, że d√3/2 < 0,9.
Zad. 2. Niech F będzie symetryczny do E względem A. Wówczas φ = |∡FAB| = |∡AEB|+|∡ABE|, bo to kąt zewnętrzny w trójkącie ABE. Zatem trójkąty AFB i ACD są przystające na mocy cechy (bkb), bo AF≡AD i AB≡AC. Zatem DC≡FB. Zauważmy teraz, że AK jest linią średnią w trójkącie EFB, więc |AK| = 1/2|FB|. Stąd teza.
Zad. 3. Odbijamy trzy razy symetrycznie prostokąt ABCD wraz z czworokątem KLMN (jak na rysunku). Zauważmy, że AKK3A2 jest równoległobokiem. Stąd |AA2|= |KK3| < a+b+c+d, co kończy dowód.
Zad. 4 (wolna amerykanka). Wyprowadźmy wzór na odcinek dwusiecznej zawarty w trójkącie.
PΔABC = 1/2bcsinα = 1/2(blasinα/2 + clasinα/2). Po przekształceniach otrzymujemy la = 2bc cosα/2/(b+c). Analogicznie obliczamy lb. Wobec założenia la ≡ lb otrzymujemy równanie 2bc cosα/2/(b+c) = 2ac cosα/2/(a+c), co po przekształceniu daje cosα/2/(1+c/b) = cosβ/2/(1+c/a). Załóżmy niewprost, że a>b. Wówczas 1+c/b > 1+c/a, skąd wynika, że cosα/2 > cosβ/2. Otrzymujemy sprzeczność, bowiem w trójkącie naprzeciw większego boku leży większy kąt, a jego cosinus jest mniejszy. Analogicznie rozważamy przypadek a<b. Stąd teza.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
