czerwiec 2023

Zad. 1. Jako pierwsi skonstruowali te przyrządy geometryczne:
a) elipsograf (cyrkiel eliptyczny) - Archimedes z Syrakuz (-III w.)
b) hiperbolograf (cyrkiel hiperboliczny) - Apoloniusz z Pergii (-III/-II w.)
c) konchoidograf (dla podstawy będącej prostą) - Nikomedes (-III/-II w.)

Zad. 2.

a) elipsograf Archimedesa - składa się z prostego pręta (długości a), którego jeden koniec A i drugi ustalony punkt B poruszają się po prostopadłych prowadnicach, a w drugim końcu C umocowany jest rysik. Jeśli punkt B leży w odległości b od końca C, to podczas gdy gdy A i B przesuwają się po prostych prostopadłych, punkt C kreśli elipsę o półosiach długości a i b.

b) hiperbolograf Apoloniusza z Pergii - składa się z pręta o jednym końcu A zaczepionym w punkcie F, wokół którego pręt może się obracać, nierozciągliwej nitki o stałej długości d, której jeden koniec zaczepiony jest w drugim końcu pręta B, a drugi przymocowany w punkcie F', ruchomego rysika M zamocowanego na pręcie, o który to punkt zaczepiona jest nić w taki sposób, że jej część BM jest naciągnięta wzdłuż pręta. Jeżeli długość nici d jest różnicą długości pręta AB i pewnej stałej 2a, to podczas gdy pręt obraca się wokół punktu F, punkt M wykreśla hiperbolę o ogniskach F i F' oraz osi rzeczywistej (odległości między wierzchołkami hiperboli) równej 2a. W każdym położeniu pręta różnica odległości punktu M od ognisk jest stała, bowiem FM–F'M = FD–(DM+MF') = 2a. Drugą gałąź hiperboli kreśli się analogicznie, zamieniając rolami punkty F i F'.

c) konchoidograf Nikomedesa - to urządzenie pozwalające wykreślić figurę złożoną z punktów, które na każdej prostej przechodzącej przez ustalony punkt zwany biegunem są odległe od punktów danej prostej o tę samą wielkość (bliżej i dalej, co daje dwie gałęzie konchoidy); składa się z pręta z trzema otworkami, z których środkowy leży w środku odcinka utworzonego przez pozostałe dwa, w których umieszczone są rysiki; jeśli pręt oprzemy w ustalonym punkcie (biegunie konchoidy) i wodzimy nim tak, że przez środkową dziurkę widzieć punkty zadanej prostej, to rysiki wykreślą dwie gałęzie konchoidy tej prostej. Poniższy rysunek przedstawia inny model konchoidografu (rysujący tylko jedną - dalszą gałąź konchoidy), gdzie liniał AB pokrywa się z prostą, której konchoidę rysujemy, P jest biegunem konchoidy, a ruchomy pręt TU ma w punkcie D umieszczony rysik (CD to  stałą odległość, o którą przesuwamy punkty prostej AB).

Zad. 3. Konchoidograf Nikomedesa pozwala rozwiązać konstrukcyjnie zagadnienie trysekcji kąta.

Dany kąt AOB umieszczamy tak, aby wierzchołek pokrył się z biegunem konchoidy prostej f prostopadłej do ramienia OA i przecinającej ramię OB w punkcie C. Kreślimy konchoidę tej prostej o odległości przesunięcia punktów |CB| = 2|OC|. Wówczas prowadząc przez C prostą równoległą do ramienia OA, otrzymujemy w przecięciu z konchoidą punkt E taki, że EOA jest trzecią częścią AOB.  

Uzasadnienie. Niech D jest punktem przecięcia EO z prostą f. Niech F jest srodkiem DE. Wówczas CF=DF (środkowa w trójkącie prostokątnym) oraz DF=OC (własność konchoidy). Stąd trójkąty OCF i CFE są równoramienne, a kąt CFD jest dwukrotnie większy niż FEC (jako zewnętrzny w trójkącie CFE). Kąty CEO i AOE są przystające (naprzemianległe). Stąd mamy, że kąt EOB jest dwukrotnie większy niż AOE, innymi słowy AOE jest trzecią częścią AOB, cnd.