Zad. 1. Basia ma w portfelu 11 złotówek oraz trochę monet 50-groszowych i 20-groszowych. Średnia wartości jej monet wynosi 52 grosze. Basia policzyła swoje monety w portfelu i wyszło jej 40. Adaś też je policzył i twierdzi, że musiała się pomylić. Kto ma rację? Dlaczego?
Zad. 2. Janek zmierzył dokładnie wszystkie kąty pewnego trójkąta, zaokrąglił ich miary do pełnych stopni i dodał. Jaki wynik otrzymał?
Zad. 3. Na ile sposobów można uzupełnić poniższe zdanie liczbami m i n, aby było prawdziwe?
m-Kąt foremny ma kąty zewnętrzne o mierze n stopni oraz n-kąt foremny ma kąty zewnętrzne o mierze m stopni.
W lutym punkty zdobyli:
- 3 pkt: Krzysztof Danielak - student automatyki i robotyki na PWr, Wiktoria Mróz - SP Wyrzysk, Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy, Tomasz Tomiczek - nauczyciel z Lipowej,
- 2,5 pkt: Julia Musiał - II LO Tczew,
- 2 pkt: Daria Bumażnik - studentka chemii i toksykologhii sądowej na UWr, Joanna Janik - pracownik biurowy ze Stalowej Woli, Weronika Kiniorska - SP 118 Wrocław, Piotr Mazur - urzędnik ze Złotoryi, Andrzej Piasecki - administrator IT z Oleśnicy,
- 1,5 pkt: Michał Węgrzyn - SP 9 Wrocław,
- 0,5 pkt: Jan Wojciechowski - SP 3 Syców.
Zad. 1. Niech p i d to liczby monet 50- i 20 groszowych odpowiednio. Liczba monet Basi to 11+p+d. Ich wartość wynosi zarówno (11+p+d)·52 jak i 1100+50p+20d. Po przyrównaniu tych wielkości otrzymujemy 32p+2d = 528, czyli 16p+d = 264 lub inaczej 11+p+d = 275-15p = 270-15p+5 = 15(18-p)+5. Widać, że liczba monet w portfelu daje resztę 5 z dzielenia przez 15, a 40 nie jest taką liczbą. Basia źle policzyła monety.
Zad. 2. Niech dokładne miary kątów wynoszą p,a, q,b i r,c, gdzie p, q i r są częściami całkowitymi, a a, b, c - częściami ułamkowymi liczb. Ponieważ suma miar jest całkowita, liczby a+b+c muszą dawać całkowity wynik, który nie przekracza 3. Mogą więc zajść następujące przypadki:
a) a+b+c = 0, wówczas p+q+r = 180
b) a+b+c = 1, wówczas p+q+r = 179
c) a+b+c = 2, wówczas p+q+r = 178
W a) nie ma zaokrągleń i uzyskujemy wynik 180.
W b) może nie być zaokrągleń w górę, np. p,4, q,4, r,2 i wynik wyniesie 179, może być jedno, np. p,5, q,4, r,1 i wynik wyniesie 180 lub mogą być dwa, np. p,5, q,5, r,0 i wynik wyniesie 181. Trzech być nie może.
W c) mogą być dwa zaokrąglenia, np. p,9, q,9, r,2 i wynik wyniesie 180, albo trzy zaokrąglenia, np. p,7, q,7, r,6 i wynik wyniesie 181. Mniej niż dwóch zaokrągleń być nie może, bo 0,5+0,4+0,4<2.
Zatem możliwe wyniki Janka to 179, 180 lub 181.
Zad. 3. Suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi 360°, czyli każdy z kątów zewnętrznych k-kąta foremnego ma 360/k°. Zatem jeśli kąt zewnętrzny m-kąta ma n°, to m=360/n. Analogicznie n=360/m. Stąd m i n muszą być liczbami całkowitymi większymi od 2, których iloczyn wynosi 360. Takich par jest 20, dla m[tex]\in[/tex]{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120}.
