Przypominamy, że rozwiązania zadań z Ligi OMJ należy wysyłać na adres 310250@uwr.edu.pl. Tam też można kierować uwagi i pytania w sprawie treści zadań.
Zad. 1. Ułamek prosty to ułamek, który w liczniku ma jedynkę, a w mianowniku liczbę całkowitą. Wykaż, że ułamka 30/2022 = 5/337 nie da się zapisać jako sumy dwóch ułamków prostych.
Zad. 2. Wykaż, że nie istnieją liczby wymierne x, y, z spełniające jednocześnie równania
x+y+z = 0 oraz x2+y2+z2 = 100.
Zad. 3. Szachownicę o wymiarach 8x8 pokryto kostkami domina o wymiarach 2x1. Wykaż, że któreś dwie kostki domina tworzą kwadrat 2x2.
Punkty za zadania styczniowe zdobyli:
- 18 - Jan Ząbkiewicz (KSP Gdynia)
- 12 - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
- 12 - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
Klasyfikacja generalna po pięciu miesiącach Ligi:
- 51 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
- 50 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
- 18 pkt - Jan Ząbkiewicz (KSP Gdynia)
- 12 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno)
Zad. 1. Załóżmy, że ten ułamek da się zapisać jako sumę ułamków prostych:
30/2022=1/a+1/b
5ab=337(a+b)
5ab–337a–337b=0
25ab–5·337a–5·337b=0
25ab–5·337a–5·337b+3372=3372
(5a–337)(5b–337)=3372
Zauważmy, że oba nawiasy po lewej stronie muszą być dodatnie (dlaczego?). Załóżmy bez straty ogólności, że a≤b. Otrzymujemy dwa przypadki: a) 5a–337=1, 5b-337=3372 lub b) 5a-337=337, 5b-337=337. W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności: 5a oraz 5b są podzielne przez 5, a druga strona równania (po przeniesieniu liczb na prawą stronę) - nie.
Zad. 2. Załóżmy, że istnieje rozwiązanie. Wiemy, że x+y = -z. Podstawiając, otrzymamy równanie x2+y2+(x+y)2 = 100, czyli x2 + xy + y2 = 50. Niech x = a/c, y = b/c, gdzie a, b, c są całkowite, a c jest najmniejszym wspólnym mianownikiem, czyli NWD(a, b, c) = 1. Równanie przyjmuje wówczas postać a2 + ab + b2 = 2·(5c)2. Gdyby a i b były parzyste, to lewa strona byłaby podzielna przez 4, a prawa nie (bo inaczej 2 byłoby wspólnym dzielnikiem a, b, c wbrew założeniu). Jednak gdyby a lub b była nieparzysta, to po lewej stronie albo jeden albo trzy składniki będą nieparzyste, zatem lewa strona będzie nieparzysta, a prawa parzysta. Uzyskana sprzeczność dowodzi braku rozwiązań.
Zad. 3. Kwadratów 2x2 na szachownicy jest 49. Liczba kostek
dotykających dłuższym brzegiem brzegu szachownicy to co najwyżej 2·4+2⋅3 = 14. Ich liczbę oznaczmy przez a. Każda z nich leży dokładnie w jednym kwadracie 2x2. Wszystkie pozostałe kostki, a jest ich 32–a, leżą w dokładnie dwóch kwadratach. Zatem sumarycznie kostki leżą w a+2·(32−a) = 64−a ≥ 64−14 = 50 kwadratach. Oznacza to, że któryś kwadrat policzyliśmy dwukrotnie – w nim właśnie znajdują się dwie kostki.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
