Od stycznia 2014 zadania Ligi Zadaniowej dla Szkół Podstawowych należy wysyłać na adres mejlowy kisowski@gazeta.pl. Adres pocztowy pozostaje bez zmian.
Zad. 1. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych podzielnych przez 15, w których cyfra tysięcy i dziesiątek wynosi 1?
Zad. 2. Pociąg o długości 400 m jadący z prędkością 42 km/h napotkał tunel. Od momentu wjechania czoła lokomotywy do tunelu do chwili opuszczenia tunelu przez ostatni wagon upłynęły 3 minuty i 15 sekund. Oblicz długość tunelu oraz czas, przez jaki maszynista pozostawał w tunelu.
Zad. 3. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma 35o. Przedłużono w nim przeciwprostokątną AB z wierzchołka A do punktu D o długość przyprostokątnej AC oraz z wierzchołka B do punktu E o długość przyprostokątnej BC. Oblicz miarę kąta DCE.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Zuzanna Banaś SP Bielany Wrocławskie, Mieszko Baszczak SP 301 Warszawa, Gracjan Ciupa SP 72 Wrocław, Jakub Dobrzański SP 3 Lubin, Dominik Gąsior SP 52 Warszawa, Michał Jerzak SP 103 Warszawa, Marek Komorowski ZSP 5 Żory, Nicoletta Litwin SP 15 Jelenia Góra, Zofia Ogonek SP 52 Warszawa, Magdalena Owczarek SSP Legionowo, Wojciech Pawłowski SP 63 Wrocław, Jakub Ptak SP 64 Wrocław, Wiktoria Ratajska SP 15 Jelenia Góra, Mikołaj Roszczyk SP 7 Legionowo, Marcin Siemieński SP 52 Warszawa, Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin i Anna Wyszowska SP 28 Wałbrzych,
- 2,75 pkt. - Antoni Bryszewski SP 15 Jelenia Góa, Hubert Cymbalista SP 1 Sobótka, Mateusz Lipiński SP 28 Wałbrzych, Wiktor Szywała SP 1 Sobótka i Adrianna Tomasik SP 2 Głuszyca,
- 2,5 pkt. - Kinga Skorska SP ? i Michalina Więckowska SP 1 Konstancin-Jeziorna,
- 2 pkt. - Iwo Pilecki-Silva SP 76 Wrocław, Aniela Reus SP 23 Wrocław i Michał Tłuczek SP 10 Głogów,
- 1,5 pkt. - Ewa Blecha SP 26 Warszawa, Mateusz Milewski SP 1 Bogatynia i Michał Piórkowski SP 63 Wrocław,
- 1 pkt. - Piotr Lara SP Świątniki Górne.
Pozostałym uczestnikom Ligi przyznano poniżej 1 punktu.
Po ośmiu miesiącach Ligi z wynikiem 23,5 pkt. (na 24 możliwe!) prowadzi Zuzanna Banaś z SP w Bielanach Wrocławskich. Gratulujemy!
Zad. 1. Liczba jest podzielna przez 15 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3 i 5 (bo są to liczby względnie pierwsze). Liczba jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest równa 0 lub 5, a podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Zatem interesujące nas liczby mają postać 1_10 i 1_15. Wystarczy wstawić w nich cyfrę setek tak, aby suma cyfr była podzielna przez 3. W każdym przypadku są trzy takie cyfry, a w sumie jest 6 rozwiazań: 1110, 1410, 1710, 1215, 1515 i 1815.
Zad. 2. Oznaczmy przez x długość tunelu w metrach. Wtedy droga pokonana przez czoło lokomotywy od momentu napotkania tunelu do momentu opuszczenia go przez ostatni wagon wynosi x+400. Pociąg w ciągu godziny pokonuje 42 km = 42 000 m, zatem w ciągu minuty pokona 42000/60 = 700 m. Wiedząc, że przebyta droga równa się prędkości pomnożonej przez czas trwania ruchu, otrzymujemy równanie x+400 = 700 · 3,25. Rozwiązaniem tego równania jest x = 1875 m, czyli tunel ma taką długość. Czas pozostawania maszynisty w tunelu obliczymy, dzieląc długość tunelu przez prędkość maszynisty (a więc i pociągu), to jest 1875/700, co po wyłączeniu całości i skróceniu daje 2 i 19/28 minuty czyli 2 minuty oraz 40 i 5/7 sekundy.
Zad. 3. Kąt CAB (ozn. ∡A) jest zewnętrzny w trójkącie CAD, więc ma miarę 2α. Podobnie kąt ABC (ozn. ∡B) jest zewnętrzny w trójkącie CBE, więc wynosi 2β. Szukany kąt ma miarę 90°+α+β = 90°+ 1/2(|∡A|+|∡B|). Kąty A i B sumują się do 90°, zatem ich połówki do 45°, więc szukany kąt ma miarę 90°+45° = 135° i nie zależy ona w ogóle od rozwartości kąta A.
