Bitem nazywamy wartość 0 lub 1, a ciągiem binarnym - sekwencję bitów, na przykład: 11101, 10, 01, 101010. Można rozważać ciągi binarne o ustalonej długości, np. wszystkie ciągi binarne o długości 2 to 01, 10, 11 i 00. Za pomocą ciągów binarnych można reprezentować różne informacje. Można w ten sposób zapisać np. wszystkie liczby naturalne (tzn. całkowite nieujemne).
Stosujemy do tego pozycyjny zapis w systemie dwójkowym, tzn. rozkładamy daną liczbę na sumę różnych potęg dwójki i oznaczamy, które potęgi wchodzą do tej sumy przez wstawienie w odpowiednich miejscach jedynek - patrząc od prawej. Kolejne pozycje w ciągu binarnym oznaczają kolejne potęgi dwójki, zaczynając od zerowej, która oznacza jedność (20=1).
Przykładowo zapis pozycyjny abcde2 oznacza a·24 + b·23 + c·22 + d·21 + e·20, więc ciąg 10101 opisuje wartość 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 16+4+1 = 21.
Najstarszy bit to pierwszy bit od lewej strony. W zapisie dwójkowym reprezentuje on najwyższą potęgę dwójki. Najmłodszy bit to pierwszy bit od prawej strony. W zapisie dwójkowym reprezentuje on najmniejszą potęgę dwójki.
Zad. 1. Rozważmy zapisywanie liczb naturalnych za pomocą ciągów binarnych o długości 6.
a) Jak zapisać liczbę 25?
b) Jaką liczbę oznacza ciąg 111000?
c) Jaką największą liczbę możemy w ten sposób zapisać?
Zad. 2.
a) Ile jest ciągów binarnych o długości 10?
b) Jaką największą liczbę naturalną możemy zapisać za pomocą ciągu binarnego długości 10?
b) Ile jest ciągów binarnych o długości n?
c) Jaką największą liczbę naturalną możemy zapisać za pomocą ciągu binarnego długości n?
Zad. 3. Za pomocą ciągów binarnych można też zapisywać wszystkie liczby całkowite. Naturalny pomysł jest taki, żeby najstarszy bit kodował znak liczby, np. jeśli ten bit wynosi 0, to oznacza znak plus, a jeśli wynosi 1, to koduje znak minus. Okazuje się jednak, że ta metoda ma istotną wadę i nie jest stosowana w praktyce. Jaka to wada? Zastanów się nad zakresem liczb reprezentowanych w ten sposób za pomocą 5 bitów.
Dziękujemy wszystkim, którzy powrócili do ligi po przerwie. Wyniki są następujące:
- 3 pkt. - Marzena Wąsiewicz - gospodyni domowa z Kajetan, z wykształcenia informatyk
- 2 pkt. - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy
Zad. 1.
a) 011001
b) 56
c) 26-1 = 63
Zad. 2.
a) 210 =1024
b) 210-1 =1023
c) 2n
d) 2n-1
Zad. 3. Wadą jest podwójna definicja zera: +0 = 00000 i -0 = 10000. W tym systemie na 5 bitach można przedstawić wszystkie liczby całkowite od -15 do 15.
