Zad. 1. Co to są aksjomaty i po co wprowadza się je w matematyce?
Zad. 2. Kiedy i przez kogo zostały zaksjomatyzowane te dziedziny matematyki?
a) geometria
b) arytmetyka
c) teoria mnogości
Zad. 3. Poniżej znajduje się XIX-wieczna rekonstrukcja mapy świata wg Eratostenesa. Co można na jej podstawie wywnioskować o stanie ówczesnej nauki w jego kręgu kulturowym?
W tym miesiącu punkty otrzymali:
- 3 - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy, Bolesław Mokrski - emerytowany nauczyciel z Przyszowic, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław,
- 2,75 - Adam Wrzesiński - terapeuta z Bielska-Białej,
- 2,5 - Dominik Zygmunt - ekonomista z Białej Rawskiej, Tomasz Tomiczek - nauczyciel z Lipowej,
- 2 - Daria Bumażnik - chemik z Piechowic.
Zad. 1. Aksjomaty to zdania przyjmowane bez dowodu, stanowiące podwaliny danej teorii. Z tych zdań wynikają wszystkie inne twierdzenia tej teorii. Zdania te obiektywnie nie mają wartości prawdy lub fałszu. Aksjomaty wprowadza się w celu uniknięcia paradoksów często formułowanych w początkowym okresie rozwoju danej teorii i uporządkowania jej nierozwiązanych problemów.
Zad. 2. Aksjomatyzacja działów matematyki:
a) geometria - Dawid Hilbert, 1899 (geometria euklidesowa - Euklides IV w. p.n.e.),
b) arytmetyka liczb naturalnych - Charles Peirce 1881, Richard Dedekind 1888, Giuseppe Peano 1889; arytmetyka liczb rzeczywistych - Alfred Tarski 1937,
c) teoria mnogości - Ernst Zermelo 1908, uzupełniona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkla 1922.
Zad. 3. Eratostenes (276-194 p.n.e.) to matematyk grecki z III w. p.n.e. związany z Aleksandrią. Rysując mapę świata, uwzględniał informacje z kampanii Aleksandra Wielkiego i jego następców. To jego mapy studiował Krzysztof Kolumb zanim wypłynął w podróż, której celem było odkrycie morskiej drogi do Indii, płynąć stale na zachód. Na podstawie jego mapy można wywnioskować, że Grecy starożytni:
- Uważali, że świat składa się z trzech kontynentów (Europy, Libii i Azji) otoczonych oceanem.
- Znali pojęcie długości i szerokości geograficznej (na mapie po raz pierwszy w historii występują południki i równoleżniki).
- Żeglowali po basenie Morza Śródziemnego i Czarnego, mieli dobrze rozpoznane ich wybrzeża, w tym ujście Dniepru (Borystenes) i Donu.
- Próbowali wyprawiać się wzdłuż atlantyckich wybrzeży Europy i Afryki, ale w bardzo ograniczonym stopniu.
- Niemal nie podejmowali wypraw lądowych w głąb Afryki, z wyjątkiem dobrze zbadanego dorzecza Nilu.
- Wybrzeże Azji znali tylko z wypraw po Morzu Czerwonym i Zatoce Perskiej oraz prostej drogi na wschód do Indii i na Sri Lankę (kształt Morza Erytrejskiego).
- Dobrze rozpoznawali kierunki świata (kierunki biegu rzek, łańcuchów górskich, ale nie kierunki wybrzeży).
- Podejmowali lądowe wyprawy do Indii (dorzecze Indusu i Gangesu) i Azji Środkowej (dorzecza Syr-darii, Amu-darii, Kamy). Nie budowali floty, aby pływać po morzu Kaspijskim.
- Ich świat ograniczał się do północnego wybrzeża Afryki (Libia, Egipt), Europa ograniczała się do części między Morzem Śródziemnym a Dunajem oraz Wielkiej Brytanii. Znali Półwysep Arabski, tereny Azji Mniejszej (Turcja, Irak), Persję (dziś Iran), a z Azji Środkowej - tereny między Morzem Czarnym i Kaspijskim (które uważali za regularne morze, uznając ujście Wołgi za połączenie z oceanem) do granicy Kaukazu (tzn. dzisiejszą Turcję, Gruzję, Armenię i Azerbejdżan) oraz tereny na wschód od Morza Kaspijskiego do granicy Uralu oraz wielkich gór Tien Szan i Hindukuszu (dzisiejsze Turkmenistan, Uzbekistan, Kazachstan). Całą południową Azję zajmowały Indie (dzisiejsze Afganistan, Pakistan, Indie, Bangladesz), oddzielone od reszty kontynentu w sposób nieprzekraczalny granicą Himalajów.
- Nie wiedzieli nic o kulturze Chin i Mongołów. Nie podejrzewali istnienia innych kontynentów i oceanów.
- Eratostenes wiedział, ze Ziemia jest okrągła. Wierzył, że płynąc na zachód, można dotrzeć do Indii.
