październik 2021

Zad. 1. Aksjomaty to zdania przyjmowane bez dowodu, stanowiące podwaliny danej teorii. Z tych zdań wynikają wszystkie inne twierdzenia tej teorii. Zdania te obiektywnie nie mają wartości prawdy lub fałszu. Aksjomaty wprowadza się w celu uniknięcia paradoksów często formułowanych w początkowym okresie rozwoju danej teorii i uporządkowania jej nierozwiązanych problemów.

Zad. 2. Aksjomatyzacja działów matematyki:
a) geometria - Dawid Hilbert, 1899 (geometria euklidesowa - Euklides IV w. p.n.e.),
b) arytmetyka liczb naturalnych -  Charles Peirce 1881, Richard Dedekind 1888, Giuseppe Peano 1889; arytmetyka liczb rzeczywistych -  Alfred Tarski 1937,
c) teoria mnogości - Ernst Zermelo 1908, uzupełniona niezależnie przez Thoralfa Skolema i Abrahama Fraenkla 1922.

Zad. 3. Eratostenes (276-194 p.n.e.) to matematyk grecki z III w. p.n.e. związany z Aleksandrią. Rysując mapę świata, uwzględniał informacje z kampanii Aleksandra Wielkiego i jego następców. To jego mapy studiował Krzysztof Kolumb zanim wypłynął w podróż, której celem było odkrycie morskiej drogi do Indii, płynąć stale na zachód. Na podstawie jego mapy można wywnioskować, że Grecy starożytni:

• Uważali, że świat składa się z trzech kontynentów (Europy, Libii i Azji) otoczonych oceanem.
• Znali pojęcie długości i szerokości geograficznej (na mapie po raz pierwszy w historii występują południki i równoleżniki).
• Żeglowali po basenie Morza Śródziemnego i Czarnego, mieli dobrze rozpoznane ich wybrzeża, w tym ujście Dniepru (Borystenes) i Donu.
• Próbowali wyprawiać się wzdłuż atlantyckich wybrzeży Europy i Afryki, ale w bardzo ograniczonym stopniu.
• Niemal nie podejmowali wypraw lądowych w głąb Afryki, z wyjątkiem dobrze zbadanego dorzecza Nilu.
• Wybrzeże Azji znali tylko z wypraw po Morzu Czerwonym i Zatoce Perskiej oraz prostej drogi na wschód do Indii i na Sri Lankę (kształt Morza Erytrejskiego).
• Dobrze rozpoznawali kierunki świata (kierunki biegu rzek, łańcuchów górskich, ale nie kierunki wybrzeży).
• Podejmowali lądowe wyprawy do Indii (dorzecze Indusu i Gangesu) i Azji Środkowej (dorzecza Syr-darii, Amu-darii, Kamy). Nie budowali floty, aby pływać po morzu Kaspijskim.
• Ich świat ograniczał się do północnego wybrzeża Afryki (Libia, Egipt), Europa ograniczała się do części między Morzem Śródziemnym a Dunajem oraz Wielkiej Brytanii. Znali Półwysep Arabski, tereny Azji Mniejszej (Turcja, Irak), Persję (dziś Iran), a z Azji Środkowej - tereny między Morzem Czarnym i Kaspijskim (które uważali za regularne morze, uznając ujście Wołgi za połączenie z oceanem) do granicy Kaukazu (tzn. dzisiejszą Turcję, Gruzję, Armenię i Azerbejdżan) oraz tereny na wschód od Morza Kaspijskiego do granicy Uralu oraz wielkich gór Tien Szan i Hindukuszu (dzisiejsze Turkmenistan, Uzbekistan, Kazachstan). Całą południową Azję zajmowały Indie (dzisiejsze Afganistan, Pakistan, Indie, Bangladesz), oddzielone od reszty kontynentu w sposób nieprzekraczalny granicą Himalajów.
• Nie wiedzieli nic o kulturze Chin i Mongołów. Nie podejrzewali istnienia innych kontynentów i oceanów.
• Eratostenes wiedział, ze Ziemia jest okrągła. Wierzył, że płynąc na zachód, można dotrzeć do Indii.